Feladat:	B.4868	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2018/április, 215. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai bizonyítások, Súlyvonal, Thalesz tétel és megfordítása
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2017/április: B.4868

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     Használjuk az ábra jelöléseit. Írjuk fel a szinusz-tételt az $ABF$, illetve az $AFC$ háromszögekben: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \frac{AB}{BF}}& {\displaystyle =\frac{\text{sin}\eta }{\text{sin}\mu };}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{AC}{CF}}& {\displaystyle =\frac{\text{sin}\left({180}^{\circ }-\eta \right)}{\text{sin}2\mu }\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Továbbá definíció szerint az $ABD$ derékszögű háromszögben $\text{cos}\mu =AB/AD$. Felhasználva, hogy $BF=FC$, valamint a $\text{sin}2\mu =2\text{sin}\mu \text{cos}\mu$ azonosságot a következőket kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle AC=\frac{\text{sin}\left({180}^{\circ }-\eta \right)}{\text{sin}2\mu }CF=\frac{\text{sin}\eta }{2\text{sin}\mu \text{cos}\mu }BF=\frac{\text{sin}\eta }{\text{sin}\mu }BF\cdot \frac{1}{2\text{cos}\mu }=\frac{AB}{2\text{cos}\mu }=\frac{AD}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Ezt akartuk bizonyítani.