Kezdőlap


Feladat:	B.4866	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Beke Csongor
Füzet:	2018/január, 23 - 24. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Többszemélyes véges játékok, Valós számok és tulajdonságaik, Komplex számok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2017/március: B.4866

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nyilván

\begin{matrix} S_{100} & = a_{1} a_{2} + a_{1} a_{3} + ... + a_{99} a_{100} = \\ = a_{1} a_{2} + a_{1} a_{3} + ... + a_{98} a_{99} + a_{100} (a_{1} + a_{2} + ... + a_{99}), \end{matrix}

és ebből Yvett a 100. lépésben már csak az

a_{100} (a_{1} + a_{2} + ... + a_{99})

részt tudja befolyásolni, ezért hogy

S_{100} = 0

legyen,

\begin{matrix} a_{100} = - \frac{a_{1} a_{2} + a_{1} a_{3} + ... + a_{98} a_{99}}{a_{1} + a_{2} + ... + a_{99}} \end{matrix}

kimondása lehet részéről az észszerű lépés.
Ha

a_{1} + a_{2} + ... + a_{99} \neq 0

, akkor ezt meg is teheti; ezért aztán Xavérnak csak az lehet a célja, hogy ezt megakadályozza azzal, hogy a 99. lépésben az

a_{99} = - (a_{1} + a_{2} + ... + a_{98})

számot mondja. De Yvett még ekkor is nyerhet, ha eléri, hogy ebben az esetben

\begin{matrix} S_{99} = a_{1} a_{2} + a_{1} a_{3} + ... + a_{98} a_{99} = 0 \end{matrix}

legyen, vagyis

\begin{matrix} a_{1} a_{2} + a_{1} a_{3} + ... + a_{97} a_{98} + a_{99} (a_{1} + a_{2} + ... + a_{98}) & = 0, \\ a_{1} a_{2} + a_{1} a_{3} + ... + a_{97} a_{98} + a_{99} (- a_{99}) & = 0, \\ a_{1} a_{2} + a_{1} a_{3} + ... + a_{97} a_{98} - {(a_{1} + a_{2} + ... + a_{98})}^{2} & = 0, \\ - (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{98}^{2} + a_{1} a_{2} + a_{1} a_{3} + ... + a_{97} a_{98}) = 0. \end{matrix}

Itt válik el egymástól az

a)

és

b)

rész.

a)

Valós számok esetén

\begin{matrix} 2 (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{98}^{2} + a_{1} a_{2} + a_{1} a_{3} + ... + a_{97} a_{98}) = \\ = (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{98}^{2}) + {(a_{1} + a_{2} + ... + a_{98})}^{2} \end{matrix}

(nemnegatív, és) csak

a_{1} = a_{2} = ... = a_{98} = 0

esetén nulla.
Ekkor Yvett nem érheti el a célját, ha Xavér már valahol az elején mondott egy nemnulla számot, amit bőven megtehetett ‐ ezért Xavérnak van nyerő stratégiája.

b)

Komplex számok esetén viszont

\begin{matrix} a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{98}^{2} + a_{1} a_{2} + a_{1} a_{3} + ... + a_{97} a_{98} = 0, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} 2 (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{98}^{2} + a_{1} a_{2} + a_{1} a_{3} + ... + a_{97} a_{98}) & = 0, \\ 2 a_{98}^{2} + 2 a_{98} (a_{1} + a_{2} + ... + a_{97}) + \\ + 2 (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{97}^{2} + a_{1} a_{2} + a_{1} a_{3} + ... + a_{96} a_{97}) & = 0, \\ 2 a_{98}^{2} + 2 a_{98} (a_{1} + a_{2} + ... + a_{97}) + \\ + ({(a_{1} + a_{2} + ... + a_{97})}^{2} + a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{97}^{2}) & = 0 \end{matrix}

másodfokú egyenlet

a_{98}

-ra, aminek komplex gyökei

\begin{matrix} a_{98_{1,2}} = \\ = \frac{- (a_{1} + a_{2} + ... + a_{97}) \pm \sqrt[]{- {(a_{1} + a_{2} + ... + a_{97})}^{2} - 2 (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{97}^{2})}}{2} . \end{matrix}

Ha e gyökök bármelyikét mondja Yvett a 98. lépésben, akkor ő fog nyerni, ezért ekkor Yvettnek van nyerő stratégiája.

Beke Csongor (Budapest, Békásmegyeri Veres Péter Gimn., 9. évf.)