Kezdőlap


Feladat:	B.4862	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Baran Zsuzsanna , Borbényi Márton , Busa Máté , Csiszár Zoltán , Fülöp Anna Tácia , Gáspár Attila , Győrffy Ágoston , Imolay András , Janzer Orsolya Lili , Kerekes Anna , Kővári Péter Viktor , Nagy Nándor , Schrettner Jakab , Szabó Dávid , Szemerédi Levente , Tanács Viktória , Tóth Viktor , Tubak Dániel , Weisz Máté
Füzet:	2017/november, 474 - 475. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai bizonyítások, Vektorok vektoriális szorzata
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2017/március: B.4862

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a szakaszok metszéspontja $O$ . Mivel $E Q = Q D$ , az $E Q O ▵$ és $Q D O ▵$ alapja és magassága megegyezik, tehát a területük egyenlő. Hasonlóan látható, hogy $T_{E Q B ▵} = T_{Q D B ▵}$ , így a megfelelő különbségekre

\begin{matrix} T_{E O B ▵} & = T_{E Q B ▵} - T_{E Q O ▵} = \\ = T_{Q D B ▵} - T_{Q D O ▵} = T_{B O D ▵} . \end{matrix}

Ezen az úton sorra belátható, hogy

\begin{matrix} T_{E O B ▵} = T_{B O D ▵} = T_{D O A ▵} = T_{A O C ▵} = T_{C O E ▵} . \end{matrix}

A továbbiakban felhasználjuk a területek egyenlőségéből, hogy

T_{E O B ▵} = T_{C O E ▵}

. Az

O E

félegyenes az

R O Q ∢

szögtartományban van, ezért az

E O

egyenes másik félegyenese a

C O B ∢

szögtartományban van. Ennek megfelelően az

E O

egyenes a

B C

szakaszt egy

N'

belső pontban metszi.

\begin{matrix} T_{B N' O ▵} = T_{N' C O ▵} \cdot \frac{B N'}{N' C}, és T_{B N' E ▵} = T_{N' C E ▵} \cdot \frac{B N'}{N' C}, \end{matrix}

ezért

\begin{matrix} T_{E O B ▵} = T_{C O E ▵} \cdot \frac{B N'}{N' C} . \end{matrix}

Így

B N' = N' C

, vagyis az

N'

B C

felezőpontja, tehát

N = N'