|
Feladat: |
B.4847 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Baran Zsuzsanna , Borbényi Márton , Daróczi Sándor , Döbröntei Dávid Bence , Gáspár Attila , Hansel Soma , Imolay András , Janzer Orsolya Lili , Kerekes Anna , Kovács Benedek , Matolcsi Dávid , Schrettner Jakab , Simon Dániel Gábor , Szabó Dávid , Szemerédi Levente , Tóth Viktor , Weisz Máté |
Füzet: |
2017/szeptember,
344 - 346. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Feladat, Különleges függvények, Indirekt bizonyítási mód |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2017/január: B.4847 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. A megoldás során elég annyit feltenni, hogy egy a intervallumon értelmezett pozitív függvény; a korlátosság feltétele elhagyható. Indirekt bizonyítva föltesszük, hogy | | (i) | teljesül minden és számra. (A továbbiakban mindig és .) Ebből belátjuk, hogy
(ii) | minden pozitív egész számhoz van olyan pozitív konstans, hogy minden -re . |
Ehhez átrendezzük (i)-et (pozitív számokkal szorzunk): | | (iii) | -t behelyettesítve: , azaz minden -re. Ezzel meg is kaptuk az első értéket: . Tegyük fel, hogy kaptunk már egy pozitív értéket, amely minden -re teljesíti az egyenlőtlenséget. Ekkor (iii)-at felírva, majd -re alkalmazva az előbbi egyenlőtlenséget kapjuk, hogy | | Osztva -val és -et beírva: | | Ezek szerint a | | kielégíti (ii)-t. Végül a -ra vonatkozó teljes indukcióval megmutatjuk, hogy Valóban, ez teljesül, ha , és ha egy adott -ra igaz, akkor az előbbiek szerint
tehát teljesül -re is. Így minden pozitív egész -ra és minden -re igaz, hogy
Speciálisan, -re: minden pozitív egész esetén. Mivel pozitív, ez ellentmondás. |
|