A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Felhasználjuk a következő ismert tételt: bármely konvex poliédernek van háromszög lapja, vagy olyan csúcsa, amelyre pontosan három él illeszkedik. (Lásd például: Sklarszkij‐Csencov‐Jaglom: Válogatott fejezetek és tételek az elemi matematika köréből 3.; 44. feladat. (17. old.).) Így elegendő a következő két esetet vizsgálni. I. eset: Tegyük fel, hogy az csúcsra pontosan három él illeszkedik: , és . Ekkor az csúcsra illeszkedő három lapsík , és , ahol értelemszerűen a meghatározott síkot jelöli. A csúcsoknak az szimmetriaközéppontra vonatkozó tükörképei legyenek értelemszerűen , , és . A feltétel szerint minden -től különböző csúcs, így , és is illeszkedik valamely -ra illeszkedő lapsíkra. Világos, hogy és nem illeszkedhet közös lapsíkra, ezért . A szimmetria miatt is lapsík, vagyis illeszkedik az -kal párhuzamos, -re illeszkedő síkra. Hasonló megfontolással láthatjuk, hogy illeszkedik az -kal párhuzamos, -re illeszkedő síkra; valamint az -kal párhuzamos, -re illeszkedő síkra is. Nyertük, hogy éppen az , és élek által feszített paralelepipedon -val szemközti csúcsa; , és a paralelepipedon további csúcsai. Azt is megmutattuk, hogy , és , valamint ezek tükörképei: , és mind lapsíkok, így a poliéder szükségképpen az paralelepipedon. II. eset: Tegyük fel, hogy, hogy egy háromszöglap. A szimmetriaközéppontot továbbra is jelölje , az lap tükörképe legyen értelemszerűen . Első lépésként belátjuk, hogy az , , , , és pontok éppen egy paralelepipedon lapközéppontjai. Legyen , és , ekkor a szimmetria miatt , és . Tekintsük azt a nyolc pontot, amelyekbe az -ból mutató vektorok alakúak. Ezek egy olyan paralelepipedon csúcsai, amelynek lapközéppontjai , , , , és . Ezt triviálisan teljesülő vektorazonosságok segítségével igazolhatjuk, a részletek végiggondolását az Olvasóra bízzuk. Megmutatjuk, hogy a poliéderünknek az , , , , és pontoktól különböző csúcsa nem lehet. Tegyük fel, hogy egy további csúcs. A feltétel szerint az , , , , és pontok mindegyikével illeszkedik egy közös lapra, vagyis a , , , , és szakaszok mind a poliéder felszínén haladnak, továbbá szükségképpen szigorúan az és síkok közé esik (hiszen a feltevés szerint és háromszöglapok). Nyilvánvaló, hogy , továbbá feltehető, hogy a sík -val átellenes oldalára esik (különben és szerepét felcseréljük az indoklásban). A szakasz a feltevés szerint a paralelogrammát legfeljebb a határán metszheti, ezért a pontot vagy az vagy az elválasztja -tól (ide értve azt is, hogy esetleg rajta van az vagy az síkok valamelyikén). Ismét az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy -t az választja el -tól. Ez viszont azt is jelenti, hogy az egyazon nyílt félterébe esik és . Összességében azt kaptuk, hogy benne van a , és közös kezdőpontú félegyenesek által meghatározott nyílt ,,térnyolcadban''. Ebből következik, hogy a szakasz metszi az poliéder belsejét, amivel ellentmondásra jutottunk.
Ezzel az állítást beláttuk. |
|