|
Feladat: |
B.4828 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Baran Zsuzsanna , Bodolai Előd , Borbényi Márton , Busa Máté , Csahók Tímea , Daróczi Sándor , Döbröntei Dávid Bence , Gáspár Attila , Hansel Soma , Imolay András , Janzer Orsolya Lili , Kerekes Anna , Klász Viktória , Kővári Péter Viktor , Matolcsi Dávid , Nagy Nándor , Németh Balázs , Noszály Áron , Schrettner Jakab , Simon Dániel Gábor , Szabó Dávid , Szemerédi Levente , Tóth Viktor |
Füzet: |
2017/május,
275 - 276. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Feladat, Egyenlőtlenségek, Nevezetes egyenlőtlenségek |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2016/november: B.4828 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. A megoldás érdekében a tagokat megfelelően csoportosítjuk, majd ezekre a csoportokra külön-külön alkalmazzuk a számtani és harmonikus közepek közti egyenlőtlenséget, melynek a következő alakját használjuk: ahol egyenlőség pontosan akkor van, ha minden egyenlő. Először is vegyük észre, hogy az és a párokból álló összegek kétszer szerepelnek (ezért lesznek a csoportosításnál a -es együtthatók). A következő tagokra bontsuk szét a szummát:
általában pedig tetszőleges -re a -adik csoport legyen: | |
Könnyen látható, hogy minden tag pontosan egyszer szerepel, hiszen egy csoportban éppen azok a tagok vannak benne, melyekre az és között ugyanannyi van, éspedig a -adik csoportban . Ezeket a csoportokat egyesével alulról tudjuk becsülni a számtani és harmonikus közepek közti egyenlőtlenség alapján:
Összegezve ezeket a becsléseket éppen a bizonyítandót kapjuk. Egyenlőség akkor áll, ha minden számtani-harmonikus becslésben egyenlőség teljesül, -re is. A esetben a számtani-harmonikus becslésben tag szerepel, melyek összege , vagyis bármely két szomszédos és különbsége . Ekkor a többi becslésben is egyenlőség van, hiszen és | |
Tehát egyenlőség akkor és csak akkor van, ha minden -re |
|