A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Egy ilyen polinom együtthatói abszolút értékeinek az összege nem lehet nulla, hiszen az azt jelentené, hogy az összes együttható nulla, viszont a feladat feltételei szerint nem azonosan nulla polinom. Ha az összeg , akkor a polinomnak alakúnak kell lennie, ahol természetes szám. Ez azonban nem lesz minden esetben osztható -tal, hiszen például , ami nyilván nem osztható -tal. A következőkben azt fogjuk belátni, hogy a keresett összeg lehet . Ennek érdekében tekintsük a polinomot. A továbbiakban többször felhasználjuk az Euler‐Fermat-tételt, amely szerint, ha és egymáshoz relatív prím pozitív egészek, akkor , illetve ugyanez kongruenciával ahol az -nél nem nagyobb, -hez relatív prím pozitív egészek száma. A 2016 prímtényezős felbontása: . Először belátjuk, hogy , minden természetes szám esetén. ‐ Ha , akkor , amiből azonnal következik, hogy . ‐ Ha páratlan, akkor miatt . Ebből az is következik, hogy , vagyis osztható -vel. Most igazoljuk, hogy , minden természetes szám esetén. ‐ Ha , akkor , amiből látható, hogy . ‐ Ha nem osztható -mal, akkor az Euler-Fermat-tétel szerint . Ebből következően is teljesül, azaz , osztható -cel. Végül belátjuk, hogy , minden természetes szám esetén. ‐ Ha , akkor , amiből rögtön következik, hogy . ‐ Ha , akkor viszont az Euler-Fermat-tétel szerint . Ebből következően is teljesül, azaz , osztható -cel. Mivel 32, 9 és páronként relatív prímek, a fentiek alapján a szorzatukkal is osztható. Találtunk tehát egy olyan polinomot, amely minden természetes szám esetén osztható -tal és az együtthatók abszolút értékének összege .
Megjegyzés. A polinom helyett bármilyen más polinom megfelel, amelyben az első tényezőben az kitevője legalább 5, a második tényezőben pedig a helyett a és a valamelyik pozitív közös többszöröse szerepel.
|
|