Feladat:	B.4842	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Daróczi Sándor
Füzet:	2017/április, 223 - 224. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Paraméteres egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Diofantikus egyenletek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2017/január: B.4842

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Legyenek az egyenlet gyökei $x_1$ és $x_2$, ahol $x_1\le x_2$. A Viéte-formulák szerint $x_1+x_2=b$ és $x_1{x}_2=bp$. Az első összefüggést a másodikba helyettesítve: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle x_1{x}_2=\left(x_1+x_2\right)p\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x_1{x}_2-p{x}_1-p{x}_2+p^2=p^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(x_1-p\right)\left(x_2-p\right)=p^2\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Mivel $x_1-p\le x_2-p$ egészek és $p$ prím, csak a következő esetek valamelyike lehetséges.   1. eset: $x_1-p=1$ és $x_2-p=p^2$. Ekkor $x_1=p+1$, $x_2=p^2+p$, így $\begin{array}{c}{\displaystyle b=x_1+x_2={\left(p+1\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$   2. eset: $x_1-p=-p^2$ és $x_2-p=-1$. Ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle b=x_1+x_2=\left(-p^2+p\right)+\left(p-1\right)=-{\left(p-1\right)}^2\mathrm{,}}\end{array}$ ami a $b>0$ követelményt nem teljesíti.   3. eset: $x_1-p=p$ és $x_2-p=p$. Ekkor $b=x_1+x_2=2p+2p=4p$.   4. eset: $x_1-p=-p$ és $x_2-p=-p$. Ekkor $b=x_1+x_2=0+0=0$, ami nem pozitív.   Tehát $b$ értéke ${\left(p+1\right)}^2$ vagy $4p$ lehet.