Feladat:	B.4811	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Keresztes László
Füzet:	2017/április, 216. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyenlőtlenségek, Legkisebb közös többszörös
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/szeptember: B.4811

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Két pozitív egész szám, $x$ és $y$ legnagyobb közös osztóját a szokásos módon jelölje $\left(x\mathrm{,}y\right)$. Ismeretes, hogy $\left(x\mathrm{,}y\right)=\frac{xy}{\left[x\mathrm{,}y\right]}$. Ha $0<x<y$, akkor $\left(x\mathrm{,}y\right)$ közös osztója lévén $x$-nek és $y$-nak, osztója $y-x$-nek is, ami pozitív; így $\left(x\mathrm{,}y\right)\le y-x$. Ezzel $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a_i{a}_{i+1}}{\left[a_i\mathrm{,}{a}_{i+1}\right]}\le a_{i+1}-a_i\mathrm{,}}\end{array}$ így $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{\left[a_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{a}_i\mathrm{,}{a}_{i+1}\right]}\le \frac{1}{\left[a_i\mathrm{,}{a}_{i+1}\right]}\le \frac{a_{i+1}-a_i}{a_i{a}_{i+1}}=\frac{1}{a_i}-\frac{1}{a_{i+1}}\mathrm{.}}\end{array}$ A kapott egyenlőtlenséget $i=\mathrm{1,2,}\text{...}\mathrm{,}n-1$-re felírva, majd összegezve: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{\left[a_1\mathrm{,}{a}_2\right]}+\frac{1}{\left[a_1\mathrm{,}{a}_2\mathrm{,}{a}_3\right]}+\text{...}+\frac{1}{\left[a_1\mathrm{,}{a}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{a}_n\right]}\le }\hfill \\ \hfill {\displaystyle \le \frac{1}{a_1}+\left(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_2}\right)+\left(\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_3}\right)+\text{...}+\left(\frac{1}{a_{n-1}}-\frac{1}{a_n}\right)=\frac{2}{a_1}-\frac{1}{a_n}<2.}\hfill \end{array}}$