Feladat:	C.1375	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2017/április, 213 - 214. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Számtani sorozat, Esetvizsgálat, Egyenlőtlenségek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/október: C.1375

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Legyenek a kétjegyű számok a koordináta-rendszerben felvéve úgy, hogy a kétjegyű szám első számjegye a pont első ($x$) koordinátája, míg a második számjegye a pont második ($y$) koordinátája. Egy kétjegyű szám első számjegye 1-től $\left(n-1\right)$-ig bármi lehet, második számjegye pedig 0-tól $\left(n-1\right)$-ig bármi, amiből rögtön kapjuk, hogy a kétjegyű számok száma $\left(n-1\right)n$. Azon számok, melyekben a számjegyek összege kétjegyű, vagyis legalább $n$, az $y=n-x$ függvény grafikonján vagy afölött helyezkednek el. A legnagyobb kétjegyű szám az $n^2-1$, melyben a számjegyek összege $\left(n-1\right)+\left(n-1\right)=2n-2$. Ez utóbbiról egyszerű átalakítás után látható, hogy értéke legfeljebb $n^2-1$ (hiszen $n^2-1-\left(2n-2\right)=n^2-2n+1={\left(n-1\right)}^2\ge 0$), tehát biztosan nem háromjegyű. Azon pontok száma, melyek az $y=n-x$ egyenesen vagy afölött helyezkednek el: $1+2+\text{...}+\left(n-2\right)+\left(n-1\right)$, a többi pont száma pedig: $\left(n-1\right)+\left(n-2\right)+\text{...}+2+1$. Tehát a pontoknak éppen a fele felel meg a feltételnek. A megfelelő számok száma tehát $\frac{\left(n-1\right)n}{2}$. A két ábra $n=8$ és $n=9$ esetén szemlélteti a megoldást.     Ha $n$ páratlan, akkor $n-1$ páros, és $\frac{n\left(n-1\right)}{2}=n\cdot \frac{n-1}{2}$, tehát a felírás $n$ alapú számrendszerben: $\overline{\frac{n-1}{2};0}$. Ha $n$ páros, akkor $n-2$ is páros, és $\frac{n\left(n-1\right)}{2}=n\cdot \frac{n-2}{2}+\frac{n}{2}$, tehát a felírás: $\overline{\frac{n-2}{2};\frac{n}{2}}$.   Megjegyzések. 1. A kétjegyű számok számát sokan számolták ki így: A legkisebb kétjegyű szám az $n$, a legnagyobb pedig az $n^2-1$. A kétjegyű számok száma tehát $\left(n^2-1\right)-n+1=n^2-n$. 2. Az, hogy épp a kétjegyű számok fele jó, így is indokolható: az ábrák szimmetrikusak a $P\left(\frac{n}{2};\frac{n-1}{2}\right)$ pontra, méghozzá úgy, hogy az $n\left(n-1\right)$ darab kétjegyű szám a szimmetria szerint párba rendezhető úgy, hogy minden pár egyik tagja kétjegyű, másik tagja pedig nem. 3. A legtöbben a honlapon található megoldási utat választották. 4. A sok 3 pontos dolgozat annak köszönhető, hogy rengetegen eljutottak odáig, hogy $\frac{\left(n-1\right)n}{2}$ darab megfelelő szám létezik, ám itt meg is álltak.