Feladat:	B.4809	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2017/március, 155 - 156. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Logikai feladatok, Számkörök
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/szeptember: B.4809

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Felhasználjuk, hogy a racionális és az irracionális számok is mindenütt sűrűn helyezkednek el a valós számok között, azaz minden valós számhoz tetszőlegesen közel található tőle különböző racionális és irracionális szám is. Megmutatjuk, hogy az $a)$ és $b)$ kérdésre a válasz igenlő, a $c)$-re pedig nemleges. Az előbbihez legyen minden racionális szám piros és minden irracionális szám kék; a fentiek miatt ekkor Lilla minden valós számot lilának fog látni. A $b)$-hez válasszunk előbb egy 1-nél nem nagyobb, pozitív racionális számokból álló, nullához tartó számsorozatot (ilyen például az $r_n=1/n$ sorozat). Minden $z$ egész számra és tetszőleges $i$ indexre színezzük a $z+r_i$ számokat pirosra, az összes többi valós számot pedig kékre. Minden $t$ egész számhoz tetszőlegesen közel található tőle különböző irracionális szám, ami most kék, és $t+r_i$ alakú szám is, ami piros; tehát minden egész szám lila. Legyen ezután $b$ olyan valós szám, ami nem egész; jelölje a $b$-hez legközelebbi egész szám(ok) $b$-től való távolságát $d>0$. Ekkor $b$-nek bármelyik piros ponttól való távolságára $\begin{array}{c}{\displaystyle |b-\left(z+r_i\right)|=|\left(b-z\right)-r_i|\ge |b-z|-|r_i|\ge d-|r_i|\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel az $\left(r_n\right)$ sorozat nullához tart, véges sok tagjának kivételével $|r_n|<d/2$ teljesül, így ‐ véges sok $i$ index kivételével ‐ $|b-\left(z+r_i\right)|\ge d/2$. Ha pedig $z$ nem a $b$-hez legközelebbi egy vagy két egész szám, akkor $|b-z|\ge 1+d$. Tehát $b$ véges sok kivételével minden piros számtól legalább $d/2$ távolságra van, ezért nem lehet lila. Végül tegyük fel, hogy van egy olyan színezés, ami szerint minden racionális szám lilának látszik; megmutatjuk, hogy akkor ez szükségképpen az összes valós számra is fennáll. Legyen ugyanis $v$ valós szám, $e$ pedig tetszőleges (kicsi) pozitív szám. Létezik olyan $r$ racionális szám, amelyre $v+e/3<r<v+2e/3$. Mivel $r$ lila, található olyan tőle különböző $p$ piros és $k$ kék szám, amelyekre $|r-p|<e/3$ és $|r-k|<e/3$. Így $p\mathrm{,}k>r-e/3>v$ miatt $p$ és $k$ különbözik $v$-től, továbbá $|v-p|=|\left(v-r\right)+\left(r-p\right)|\le |v-r|+|r-p|<2e/3+e/3=e$, és hasonlóan $|v-k|<e$. Mindez azt jelenti, hogy $v$ is lilának látszik. Tehát nem létezik olyan színezés, amely szerint Lilla pontosan a racionális számokat látná lilának.   Megjegyzés. Az egyik nagyon gyakori hiba a $c)$ rész lehetetlenségének bizonyításánál fordult elő. Itt sokan látták be azt (vagy indultak ki abból), hogy ha egy $t$ irracionális számnak bármilyen kicsi $\left(t-x\mathrm{,}t+x\right)$ környezetében van egy piros és egy kék pont, akkor $t$-t lilának látjuk. Ebben ott van a hiba, hogy ez a környezet tartalmazhatja $t$-t is, és ha például ebben $t$ az egyedüli piros pont, az összes többi pedig kék, akkor ettől még lehet, hogy a $t$ körüli környezet $t$-n kívül nem tartalmaz piros pontot, és ezáltal $t$ nem látszik lilának. Az ebből fakadó hibák 1 pont levonással jártak. Egy másik gyakori hiba az $a)$ résznél adott rossz konstrukció volt: színezzük ki a számegyenest úgy, hogy a pontok KKPPKKPPKK$\text{...}$ színsorrendben következzenek, és ekkor egy $p$ pontot véve, a vele szomszédos két pont különböző színű, így $p$ lila. Ezzel az a probléma, hogy a pontok között ilyen szomszédsági viszony nem létezik, két pont nem lehet ,,szomszédos'' egymással. Egy $a$ pontnak egy tőle különböző $b$ pont nem lehet szomszédja, hiszen a két pont felezőpontja, $\frac{a+b}{2}$ közelebb esik $a$-hoz, mint $b$.