Feladat:	B.4739	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balázs Ákos
Füzet:	2016/május, 280. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Trigonometriai azonosságok, Prímszámok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/október: B.4739

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Legyen $a=\text{tg}x+\text{ctg}x$. A feladat feltételei szerint az összeg pozitív, továbbá az $a$ egy szám és reciprokának az összege, így ismert, hogy $a\ge 2$, ahol egyenlőség csak $\text{tg}x=\text{ctg}x=1$ esetén áll fenn. Tudjuk továbbá, hogy ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \text{tg}{}^{3}x+\text{ctg}{}^{3}x}& {\displaystyle =\left(\text{tg}x+\text{ctg}x\right)\left(\text{tg}{}^{2}x-\text{tg}x\text{ctg}x+\text{ctg}{}^{2}x\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\left(\text{tg}x+\text{ctg}x\right)\left[{\left(\text{tg}x+\text{ctg}x\right)}^2-3\text{tg}x\text{ctg}x\right]=a\left(a^2-3\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ha $a\ge 2$ pozitív egész, akkor $a^2-3$ is pozitív egész, tehát a szorzat csak abban az esetben lehet prímszám, ha $a$ prímszám és $a^2-3=1$. $\begin{array}{c}{\displaystyle a^2-3={\left(\text{tg}x+\text{ctg}x\right)}^2-3=\mathrm{1,}\text{tg}x+\text{ctg}x=2.}\end{array}$ Ez csak akkor teljesül, ha $\text{tg}x=\text{ctg}x=1$. Tehát az egyenlet megoldásai: $x=\frac{\pi }{4}+k\cdot \pi$, ahol $k\in \text{Z}$.