Kezdőlap


Feladat:	B.4738	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Barabás Ábel
Füzet:	2016/május, 279. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Háromszögek hasonlósága, Középponti és kerületi szögek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/október: B.4738

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az ábra jelöléseit használva, $C D = C P = C Q = r$ , így a kerületi szögek tétele miatt $C E P ∢ = C E Q ∢ = α$ . Ezért a $P E Q$ háromszögben $E C$ , és így $E M$ is szögfelező.

A szögfelező tétel miatt:

\begin{matrix} \frac{P M}{P E} = \frac{Q M}{Q E} . \end{matrix}

A kerületi szögek tételét felhasználva

E C Q ∢ = E P Q ∢ = β

, mert mindkettő az

E Q

ívhez tartozó kerületi szög a

k

körben.
Emiatt

M P E ▵ \sim Q C E ▵

, mivel két-két szögük megegyezik. A

C

pont tükörképe az

A B

szakaszra az

E

pont, így

C D = r = D E

, vagyis

C E = 2 r

.
Ezeket felhasználva:

\begin{matrix} \frac{Q C}{C E} = \frac{1}{2} = \frac{P M}{P E} = \frac{Q M}{Q E}, tehát \frac{P M}{P E} + \frac{Q M}{Q E} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1. \end{matrix}

Ezt az értéket kerestük.