Feladat:	B.4701	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Szász Dániel Soma
Füzet:	2015/november, 471. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai bizonyítások, Súlypont, Helyvektorok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/március: B.4701

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Használjunk az $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ négyszög $S$ súlypontjából induló helyvektorokat, betűzzük őket a végpontjuknak megfelelő kisbetűkkel; ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{{\text{a}}_1+{\text{b}}_1+{\text{c}}_1+{\text{d}}_1}{4}=\text{s}=\text{0}\mathrm{,}\text{vagyis}{\text{a}}_1+{\text{b}}_1+{\text{c}}_1+{\text{d}}_1=\text{0}\mathrm{.}}\end{array}$ Állítsuk elő az $\overrightarrow{{SA}_2}={\text{a}}_2$ vektort: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\text{a}}_2=\frac{{\text{b}}_1+{\text{c}}_1+{\text{d}}_1}{3}=-\frac{1}{3}{\text{a}}_1\mathrm{.}}\end{array}$ Hasonlóan állíthatjuk elő az $\overrightarrow{{SB}_2}={\text{b}}_2$, $\overrightarrow{{SC}_2}={\text{c}}_2$ és $\overrightarrow{{SD}_2}={\text{d}}_2$ vektorokat. Állítás. ${\text{a}}_n={\left(-\frac{1}{3}\right)}^{n-1}{\text{a}}_1$ minden $n>1$, $n\in N$ esetén; és hasonlóan a ${\text{b}}_n$, ${\text{c}}_n$, ${\text{d}}_n$ vektorokra. Az állítást teljes indukcióval bizonyítjuk. $n=2$-re láttuk, hogy igaz. Tegyük fel, hogy $n$-re igaz, és lássuk be $n+1$-re. ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle {\text{a}}_{n+1}}& {\displaystyle =\frac{{\text{b}}_n+{\text{c}}_n+{\text{d}}_n}{3}=\frac{1}{3}\cdot \left({\left(-\frac{1}{3}\right)}^{n-1}{\text{b}}_1+{\left(-\frac{1}{3}\right)}^{n-1}{\text{c}}_1+{\left(-\frac{1}{3}\right)}^{n-1}{\text{d}}_1\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{3}\cdot {\left(-\frac{1}{3}\right)}^{n-1}\left({\text{b}}_1+{\text{c}}_1+{\text{d}}_1\right)=\frac{1}{3}\cdot {\left(-\frac{1}{3}\right)}^{n-1}\left(-{\text{a}}_1\right)={\left(-\frac{1}{3}\right)}^n{\text{a}}_1\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Hasonló gondolatmenettel belátható az állítás a másik három $n+1$ indexű vektorra. Így az ${SA}_n$, ${SB}_n$, ${SC}_n$, ${SD}_n$ szakaszok egyre rövidülnek, hosszuk minden határon túl csökken, vagyis véges $k$ küszöbindex után az $n>k$ indexű $A_n$ pontok mind az $S$ középpontú egységsugarú körön belül lesznek, tehát csak véges számú ilyen pont esik a körön kívülre.