Feladat:	B.4653	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Radnai Bálint
Füzet:	2015/április, 217 - 218. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Prímtényezős felbontás, Legkisebb közös többszörös, Legnagyobb közös osztó
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/október: B.4653

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A $10!$ szám prímtényezős felbontása: $\begin{array}{c}{\displaystyle 10!=2^8\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7^1\mathrm{.}}\end{array}$ Tegyük fel, hogy $10!$ kanonikus alakjában a $p$ prímszám az $\alpha$-adik hatványon szerepel. Ekkor $\left(a\mathrm{,}b\mathrm{,}c\right)=1$ és $\left[a\mathrm{,}b\mathrm{,}c\right]=10!$ teljesülése esetén $a$, $b$, $c$ között szerepelnie kell olyan számnak, ami nem osztható $p$-vel, olyannak, amit $p$ pontosan az $\alpha$-adik hatványon oszt, és a harmadik számban is legfeljebb $\alpha$ lehet $p$ kitevője. Ha ezek a feltételek mind a négy prímosztóra teljesülnek, továbbá az $a$, $b$, $c$ számok összes prímosztója a 2, 3, 5, 7 közül kerül ki, akkor $\left(a\mathrm{,}b\mathrm{,}c\right)=1$ és $\left[a\mathrm{,}b\mathrm{,}c\right]=10!$ valóban teljesül. Vizsgáljuk most meg, hogy az $a\mathrm{,}b\mathrm{,}c$ számok prímtényezős felbontásában $p$ kitevője (ahol $p$ a $10!$ egyik prímosztója) hányféle módon választható meg. Legyen a három kitevő $\mathrm{0,}\alpha$ és $\beta$. Ha $0<\beta <\alpha$, akkor 6-féle sorrend lehetséges, ha $\beta =0$ vagy $\beta =\alpha$, akkor pedig 3-3. Tehát összességében $p$ kitevőjének megválasztására a három számban $6\left(\alpha -1\right)+2\cdot 3=6\alpha$ lehetőség van. A különböző prímosztókra a kitevőket egymástól függetlenül válaszhatjuk meg, így az olyan $a\mathrm{,}b\mathrm{,}c$ pozitív egész számokból álló rendezett hármasok száma, amelyekre teljesül a feltétel, összesen $\left(6\cdot 8\right)\cdot \left(6\cdot 4\right)\cdot \left(6\cdot 2\right)\cdot \left(6\cdot 1\right)=82944$.