Feladat:	2016. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2016/november, 496 - 498. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Ütközőnyaláb, tárológyűrű, Relativisztikus dinamika
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/október: 2016. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   3. feladat. A Nagy Hadronütköztető A rész. Az LHC gyorsító A.1. Az energiamegmaradás törvénye szerint: $\begin{array}{c}{\displaystyle eU=\frac{m{c}^2}{\sqrt[]{1-\frac{v^2}{c^2}}}-m{c}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Ezt megoldva $v$-re: $\begin{array}{c}{\displaystyle v=c\cdot \sqrt[]{1-{\left(\frac{m_{\text{p}}{c}^2}{m_{\text{p}}{c}^2+eU}\right)}^2}\mathrm{.}}\end{array}$ A.2. A fenti eredményt felhasználva: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta =1-\frac{v}{c}=1-\sqrt[]{1-{\left(\frac{m_{\text{e}}{c}^2}{m_{\text{e}}{c}^2+eU}\right)}^2}\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel $m_{\text{e}}{c}^2\ll eU$, így $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta \approx \frac{1}{2}{\left(\frac{m_{\text{e}}{c}^2}{eU}\right)}^2=3\mathrm{,}63\cdot {10}^{-11}\mathrm{.}}\end{array}$ A.3. Mivel a részecskék impulzusának csak az iránya változik, az impulzus nagysága állandó, a körmozgás dinamikai feltétele: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\text{d}p}{\text{d}t}=p\frac{v}{r}=\frac{m_{\text{p}}{v}^2}{r\sqrt[]{1-\frac{v^2}{c^2}}}=evB\mathrm{.}}\end{array}$ Az energia: $\begin{array}{c}{\displaystyle E=\frac{m_{\text{p}}{c}^2}{\sqrt[]{1-\frac{v^2}{c^2}}}\mathrm{.}}\end{array}$ Ezekből (felhasználva, hogy $r=L/\left(2\pi \right)$ és $v\approx c$): $\begin{array}{c}{\displaystyle B=\frac{2\pi E}{ecL}=5\mathrm{,}50\text{T}\mathrm{.}}\end{array}$ A.4. Keressük a kisugárzott teljesítmény képletét $P_{\text{s}}=a^{\alpha }{q}^{\beta }{c}^{\gamma }{\epsilon }_0^{\delta }$ alakban. A megfelelő dimenziók: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left[P_{\text{s}}\right]=\frac{\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{s}}^3}\mathrm{,}\left[a\right]=\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mrow><msup><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></mfrac></mrow></math>}\mathrm{,}\left[q\right]=\text{C}\mathrm{,}\left[c\right]=\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></mfrac></mrow></math>}\mathrm{,}\left[{\epsilon }_0\right]=\frac{{\text{C}}^2\cdot {\text{s}}^2}{\text{kg}\cdot {\text{m}}^3}\mathrm{.}}\end{array}$ A tömeg, a töltés, a hosszúság és az idő mértékegységének összevetéséből rendre a $\begin{array}{c}{\displaystyle \delta =-\mathrm{1,}\beta +2\delta =\mathrm{0,}\alpha +\gamma -3\delta =\mathrm{2,}-2\alpha -\gamma +2\delta =-3}\end{array}$ egyenleteket kapjuk. Ezekből $\alpha =2$, $\beta =2$, $\gamma =-3$, $\delta =-1$, vagyis a sugárzási teljesítmény: $\begin{array}{c}{\displaystyle P_{\text{t}}\sim \frac{a^2\cdot e^2}{c^3\cdot {\epsilon }_0}\mathrm{.}}\end{array}$ A.5. Egyetlen részecske által kisugárzott teljesítmény: $\begin{array}{c}{\displaystyle P_{\text{s}}=\frac{1}{\sqrt[]{1-\frac{v^2}{c^2}}}\frac{1}{6\pi }\frac{a^2\cdot e^2}{c^3\cdot {\epsilon }_0}\mathrm{.}}\end{array}$ Felhasználva az $E$ energia A.3.-ban megadott alakját, valamint, hogy $a\approx c^2/r$ és $r=L/\left(2\pi \right)$: $\begin{array}{c}{\displaystyle P_{\text{s}}={\left(\frac{E}{m_{\text{p}}{c}^2}\right)}^4\frac{2\pi e^{2}c}{3{\epsilon }_0{L}^2}=7\mathrm{,}94\cdot {10}^{-12}\text{W}\mathrm{.}}\end{array}$ A teljes kisugárzott teljesítmény: $\begin{array}{c}{\displaystyle P_{\text{t}}=2\cdot 2808\cdot 1\mathrm{,}15\cdot {10}^{11}\cdot P_{\text{s}}=5\mathrm{,}13\text{kW}\mathrm{.}}\end{array}$ A.6. A relativisztikus mozgásegyenlet: $\begin{array}{c}{\displaystyle F=e\frac{U}{d}=\text{állandó}=\frac{\text{d}p}{\text{d}t}=\frac{p_{\text{vég.}}-p_{\text{kezd.}}}{T}\mathrm{.}}\end{array}$ Felhasználva a végsebesség A.1.-beli alakját és hogy $p_{\text{vég.}}=m_{\text{p}}v/\sqrt[]{1-v^2/c^2}$, továbbá $p_{\text{kezd.}}=0$: $\begin{array}{c}{\displaystyle T=\frac{m_{\text{p}}cd}{eU}\sqrt[]{{\left(1+\frac{eU}{m_{\text{p}}{c}^2}\right)}^2-1}=218\text{ns}\mathrm{.}}\end{array}$   B rész. Részecskeazonosítás B.1. A $v=\ell /t$ és a $p=mv/\sqrt[]{1-v^2/c^2}$ összefüggésekből: $\begin{array}{c}{\displaystyle m=\frac{p}{\ell c}\sqrt[]{c^2{t}^2-{\ell }^2}\mathrm{.}}\end{array}$ B.2. A repülési idők különbsége: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta t=3\cdot 150\text{ps}=4\mathrm{,}5\cdot {10}^{-10}\text{s}\mathrm{.}}\end{array}$ A B.1. részből $\begin{array}{c}{\displaystyle t=\frac{\ell }{c}\sqrt[]{{\left(\frac{mc}{p}\right)}^2+1}\mathrm{.}}\end{array}$ A kaon és a pion adatait felhasználva: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta t=\frac{\ell }{c}\left(\sqrt[]{0\mathrm{,}{498}^2+1}-\sqrt[]{0\mathrm{,}{135}^2+1}\right)\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $\ell =1\mathrm{,}25\text{m}$ adódik. B.3. A nyomkövetési csőben megtett körív hossza: Csak keresztirányú $p_{\text{T}}$ impulzus van, és a relativisztikus mozgásegyenlet $p\left(v/r\right)=evB$, a nyaláb irányára merőleges (transzverzális) impulzus: $p_{\text{T}}=erB$. Felhasználva B.1. eredményét: $\begin{array}{c}{\displaystyle m=\frac{eB}{c}\sqrt[]{{\left(\frac{ct}{2\text{arcsin}\frac{R}{2r}}\right)}^2-r^2}\mathrm{.}}\end{array}$ B.4. A megadott adatokat behelyettesítve B.3. eredményébe a tömegekre ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle m_{\text{A}}}& {\displaystyle =1\mathrm{,}673\cdot {10}^{-27}\text{kg}=938\mathrm{,}65\text{MeV}/c^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle m_{\text{B}}}& {\displaystyle =0\mathrm{,}240\cdot {10}^{-27}\text{kg}=134\mathrm{,}88\text{MeV}/c^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle m_{\text{C}}}& {\displaystyle =1\mathrm{,}667\cdot {10}^{-27}\text{kg}=935\mathrm{,}10\text{MeV}/c^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle m_{\text{D}}}& {\displaystyle =0\mathrm{,}890\cdot {10}^{-27}\text{kg}=499\mathrm{,}44\text{MeV}/c^2}\hfill \end{array}}$ adódik. Ezek alapján az A és C részecske proton, a B részecske pion, D pedig kaon.