Feladat:	4779. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	(B. S.) ,  Asztalos Bogdán ,  Balogh Menyhért ,  Blum Balázs ,  Csenger Géza ,  Di Giovanni András ,  Forrai Botond ,  Iván Balázs ,  Kasza Bence ,  Kovács Péter Tamás ,  Sal Kristóf
Füzet:	2016/április, 242 - 243. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Megosztás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/november: 4779. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Amíg a fémgömb és a fémsík össze van kötve, addig a két felület azonos (nulla) potenciálon van. Amikor a $Q$ ponttöltést bevisszük a rendszerbe, a gömb és a fémfelület (a földelő vezetéken keresztül) annyi töltést vesz fel, amennyi ahhoz szükséges, hogy az elektromos potenciáljuk nulla legyen. A gömbben felhalmozódó töltés mennyisége legyen $-q$. (A gömb töltését a $+Q$ töltés erőtere ,,szívja fel'' a földből, tehát a gömb töltésének előjele $Q$-val ellentétes.) A kialakuló erőtér a fémfelület egyik oldalán olyan, mintha a felület másik oldalán $-Q$ és $+q$ nagyságú ,,tükörtöltés'' foglalna helyet (lásd az ábrát). Mivel $R\ll h$, a $-q$ töltést a gömb középpontjába helyezett ponttöltésnek tekinthetjük.     A töltések és a tükörtöltések együttes potenciálja a fémsík pontjaiban nyilván nulla. Emellett az $R$ sugarú fémgömb potenciálja is nulla kell, hogy legyen, hiszen a gömb össze van kötve a földelt fémsíkkal. $\begin{array}{c}{\displaystyle k\frac{Q}{h}-k\frac{Q}{\sqrt[]{5}h}-k\frac{q}{R}+k\frac{q}{2h}=\mathrm{0,}}\end{array}$ ahonnan $\begin{array}{c}{\displaystyle q=Q\left(1-\frac{1}{\sqrt[]{5}}\right)\frac{2R}{2h-R}\approx \left(1-\frac{1}{\sqrt[]{5}}\right)\frac{R}{h}Q\mathrm{.}}\end{array}$ (Az utolsó lépésben kihasználtuk, hogy $R\ll h$.) Miután megszakítjuk a fémgömb és a fémsík közötti összeköttetést, a $-q$ töltés akkor sem tud eltávozni a fémgömbről, amikor eltávolítjuk a $Q$ ponttöltést. A visszamaradó rendszer (töltött fémgömb + földelt fémsík) ismét a tükörtöltés módszerével tárgyalható. A fémgömb és a fémsík közötti feszültség (vagyis a fémgömb potenciálja) $R\ll h$ miatt így számolható: $\begin{array}{c}{\displaystyle U=k\frac{q}{R}=-\left(1-\frac{1}{\sqrt[]{5}}\right)\frac{kQ}{h}\mathrm{.}}\end{array}$   II. megoldás. Az odavitt ponttöltés, valamint (a megosztás miatt) a gömbön és a fémsíkon kialakuló töltés együtt nulla feszültséget eredményez a gömb és a fémsík között. A vékony fémdrót eltávolítása után a gömb töltése már nem változhat meg. A $Q$ ponttöltés eltávolítása úgy is felfogható, hogy vele egy $-Q$ ponttöltést egybeejtünk. Az utóbbi a gömb és a fémsík között $\begin{array}{c}{\displaystyle U=-\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0}\left(\frac{1}{h}-\frac{1}{\sqrt[]{5}h}\right)}\end{array}$ feszültséget kelt (ez töltéstükrözéssel belátható). A szuperpozíció elve alapján ez a feszültség hozzáadandó a $-Q$ nélkül fennálló feszültséghez, amely zérus volt. Ezért a fenti $U$ önmagában megadja a gömb és a sík közötti feszültséget a ponttöltés eltávolítása után.