Feladat: 4779. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  (B. S.) ,  Asztalos Bogdán ,  Balogh Menyhért ,  Blum Balázs ,  Csenger Géza ,  Di Giovanni András ,  Forrai Botond ,  Iván Balázs ,  Kasza Bence ,  Kovács Péter Tamás ,  Sal Kristóf 
Füzet: 2016/április, 242 - 243. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Megosztás
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2015/november: 4779. fizika feladat

Nagy kiterjedésű, földelt fémsík fölött egy R sugarú fémgömb helyezkedik el levegőben, a síktól h távolságban (Rh). A gömb egy igen vékony fémdróttal a fémsíkhoz van kötve. Egy Q ponttöltést a gömb közelébe viszünk úgy, hogy annak távolsága a gömbtől és a fémsíktól egyaránt h legyen. Ekkor a fémdrótot eltávolítjuk, majd a ponttöltést is eltávolítjuk. Mekkora lesz ezután a fémgömb és a fémsík közötti feszültség?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. Amíg a fémgömb és a fémsík össze van kötve, addig a két felület azonos (nulla) potenciálon van. Amikor a Q ponttöltést bevisszük a rendszerbe, a gömb és a fémfelület (a földelő vezetéken keresztül) annyi töltést vesz fel, amennyi ahhoz szükséges, hogy az elektromos potenciáljuk nulla legyen.
A gömbben felhalmozódó töltés mennyisége legyen -q. (A gömb töltését a +Q töltés erőtere ,,szívja fel'' a földből, tehát a gömb töltésének előjele Q-val ellentétes.) A kialakuló erőtér a fémfelület egyik oldalán olyan, mintha a felület másik oldalán -Q és +q nagyságú ,,tükörtöltés'' foglalna helyet (lásd az ábrát). Mivel Rh, a -q töltést a gömb középpontjába helyezett ponttöltésnek tekinthetjük.

 
 

A töltések és a tükörtöltések együttes potenciálja a fémsík pontjaiban nyilván nulla. Emellett az R sugarú fémgömb potenciálja is nulla kell, hogy legyen, hiszen a gömb össze van kötve a földelt fémsíkkal.
kQh-kQ5h-kqR+kq2h=0,
ahonnan
q=Q(1-15)2R2h-R(1-15)RhQ.
(Az utolsó lépésben kihasználtuk, hogy Rh.)
Miután megszakítjuk a fémgömb és a fémsík közötti összeköttetést, a -q töltés akkor sem tud eltávozni a fémgömbről, amikor eltávolítjuk a Q ponttöltést. A visszamaradó rendszer (töltött fémgömb + földelt fémsík) ismét a tükörtöltés módszerével tárgyalható. A fémgömb és a fémsík közötti feszültség (vagyis a fémgömb potenciálja) Rh miatt így számolható:
U=kqR=-(1-15)kQh.

 
II. megoldás. Az odavitt ponttöltés, valamint (a megosztás miatt) a gömbön és a fémsíkon kialakuló töltés együtt nulla feszültséget eredményez a gömb és a fémsík között. A vékony fémdrót eltávolítása után a gömb töltése már nem változhat meg. A Q ponttöltés eltávolítása úgy is felfogható, hogy vele egy -Q ponttöltést egybeejtünk. Az utóbbi a gömb és a fémsík között
U=-Q4πε0(1h-15h)
feszültséget kelt (ez töltéstükrözéssel belátható). A szuperpozíció elve alapján ez a feszültség hozzáadandó a -Q nélkül fennálló feszültséghez, amely zérus volt. Ezért a fenti U önmagában megadja a gömb és a sík közötti feszültséget a ponttöltés eltávolítása után.