Kezdőlap


Feladat:	C.1006	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Margitai Péter Máté
Füzet:	2010/szeptember, 336. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Oszthatóság
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/november: C.1006

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az $\bar{a b a b a b}$ szám felírható ilyen alakban:

\begin{matrix} b + 100 b + 10 000 b + 10 a + 1000 a + 100 000 a & = 10 101 b + 101 010 a = \\ = 10 101 (b + 10 a) . \end{matrix}

Tehát a szám 10 101 és

b + 10 a

szorzata.
10 101 prímtényezős felbontása:

\begin{matrix} 10 101 = 3 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 37, \end{matrix}

egyik prímtényező sem háromjegyű. Mivel

a

és

b

is egyjegyű

(a \neq 0

), a legnagyobb értéke

b + 10 a

-nak:

9 + 10 \cdot 9 = 99

, tehát ez az érték legfeljebb kétjegyű lehet, ezért nyilván nem lesz háromjegyű prímtényező a prímtényezős felbontásában. Tehát:

\begin{matrix} \bar{a b a b a b} = 3 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 37 \cdot (10 a + b) . \end{matrix}

Itt mindegyik szorzótényező kisebb, mint 100, tehát igazoltuk az állítást.