Feladat: C.1006 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Margitai Péter Máté 
Füzet: 2010/szeptember, 336. oldal  PDF file
Témakör(ök): C gyakorlat, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Oszthatóság
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2009/november: C.1006

Bizonyítsuk be, hogy az ababab¯ alakú hatjegyű számoknak nem lehet kétjegyűnél nagyobb prímtényezője.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az ababab¯ szám felírható ilyen alakban:

b+100b+10000b+10a+1000a+100000a=10101b+101010a==10101(b+10a).
Tehát a szám 10 101 és b+10a szorzata.
10 101 prímtényezős felbontása:
10101=371337,
egyik prímtényező sem háromjegyű. Mivel a és b is egyjegyű (a0), a legnagyobb értéke b+10a-nak: 9+109=99, tehát ez az érték legfeljebb kétjegyű lehet, ezért nyilván nem lesz háromjegyű prímtényező a prímtényezős felbontásában. Tehát:
ababab¯=371337(10a+b).
Itt mindegyik szorzótényező kisebb, mint 100, tehát igazoltuk az állítást.