Feladat:	B.4596	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Cseh Kristóf
Füzet:	2014/október, 415 - 416. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/január: B.4596, 1987/október: F.2651 Feladatok megoldásai: 1987/március: Gy.2359

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Az egyenlet bal oldalán álló negyedfokú polinomot több lépésben két másodfokú szorzatává alakítjuk. Az $x^4-2\sqrt[]{3}{x}^2+3$ szorzattá alakítható, mivel teljes négyzet. Ezzel az egyenlet $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(x^2-\sqrt[]{3}\right)}^2+x-\sqrt[]{3}=0.}\end{array}$ Az ismert $a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$ azonosságot előkészítve vonjunk le és adjunk is hozzá $x^2$-et a bal oldalhoz. $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(x^2-\sqrt[]{3}\right)}^2-x^2+x^2+x-\sqrt[]{3}=\mathrm{0,}}\end{array}$ az azonosság alkalmazása után pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(x^2-x-\sqrt[]{3}\right)\left(x^2+x-\sqrt[]{3}\right)+x^2+x-\sqrt[]{3}=0.}\end{array}$ Most már kiemelhetünk $\left(x^2+x-\sqrt[]{3}\right)$-at is: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(x^2+x-\sqrt[]{3}\right)\left(x^2-x+1-\sqrt[]{3}\right)=0.}\end{array}$ Szorzat abban az esetben lehet nulla, ha valamelyik tényezője nulla. Először nézzük azt az esetet, amikor $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(x^2+x-\sqrt[]{3}\right)=0.}\end{array}$ A megoldóképlet alapján kapunk két megoldást: $\begin{array}{c}{\displaystyle x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-1\pm \sqrt[]{1+4\sqrt[]{3}}}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Tekintsük a másik esetet: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2-x+1-\sqrt[]{3}=0.}\end{array}$ A megoldóképletet alkalmazva: $\begin{array}{c}{\displaystyle x_{\mathrm{3,4}}=\frac{1\pm \sqrt[]{1-4+4\sqrt[]{3}}}{2}=\frac{1\pm \sqrt[]{4\sqrt[]{3}-3}}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ A megoldás során ekvivalens lépésekkel dolgoztunk, az egyenletnek mind a négy kapott valós szám megoldása.   Megjegyzés: Az egyenlet szorzattá alakítása egy nem szokványos ötlettel rövidíthető. Az $\begin{array}{c}{\displaystyle x^4-2\sqrt[]{3}{x}^2+x+3-\sqrt[]{3}=0}\end{array}$ egyenlet a $\sqrt[]{3}$-ra, mint változóra nézve másodfokú. $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\sqrt[]{3}\right)}^2-\left(2x^2+1\right)\sqrt[]{3}+x^4+x=0.}\end{array}$ Írjuk fel most is a megoldóképletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{3}=\frac{2x^2+1\pm \sqrt[]{4x^4+4x^2+1-4x^4-4x}}{2}=\frac{2x^2+1\pm |2x-1|}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Az ,,egyenlet'' két gyöke $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{3}=x^2+x\mathrm{,}\text{illetve}\sqrt[]{3}=x^2-x+1.}\end{array}$ Innen már adódik az egyenlet gyöktényezős alakja, a szorzattá alakítás: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(\sqrt[]{3}-x^2-x\right)\left(\sqrt[]{3}-x^2+x-1\right)=0.}\end{array}$ Innen a megoldás már az előző szerint azonnal befejezhető.