Kezdőlap


Feladat:	2013. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2013/november, 496 - 500. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Olvadás, fagyás, Földrajzzal kapcsolatos feladatok, Egyéb magfizika
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/október: 2013. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

3. feladat. A grönlandi jégsapka

3.1. A jégtakaró belsejében a hidrosztatikai nyomás, mint a jégválasztó vonaltól mért

x

távolság és a földfelszíntől (tengerszinttől) mért

z

magasság függvénye:

p (x, z) = ϱ_{jég} g (H (x) - z)

.
3.2a. Az

y

‐

z

síktól (,,jégválasztótól'')

x

távolságra lévő függőleges oldalfalra ható erő kifejezhető:

\begin{matrix} F (x) = Δ y \int_{0}^{H (x)} ϱ_{jég} g (H (x) - z) d z = \frac{1}{2} Δ y ϱ_{jég} g H {(x)}^{2} . \end{matrix}

A függőleges oldalfalú jégrétegre ható két vízszintes erő különbsége:

\begin{matrix} Δ F = F (x) - F (x + Δ x) = - \frac{d F}{d x} Δ x = - Δ y ϱ_{jég} g H (x) \frac{d H}{d x} Δ x . \end{matrix}

Használjuk fel, hogy

Δ F = S_{b} Δ x Δ y

. Így adódik

S_{b}

értékére:

\begin{matrix} S_{b} = \frac{Δ F}{Δ x Δ y} = - ϱ_{jég} g H (x) \frac{d H}{d x} . \end{matrix}

Ezzel igazoltuk, hogy

S_{b} = k H (x) d H / d x

, ahol az arányossági tényező

k = - ϱ_{jég} g

.
3.2b. Megkapjuk a jégsapka

H (x)

magasságprofilját, ha megoldjuk a következő differenciálegyenletet:

\begin{matrix} S_{b} = - ϱ_{jég} g H (x) \frac{d H}{d x}, ebből H d H = - \frac{S_{b}}{ϱ_{jég} g} d x . \end{matrix}

Integráljuk mindkét oldalt:

\begin{matrix} H {(x)}^{2} = - \frac{2 S_{b}}{ϱ_{jég} g} x + C . \end{matrix}

Használjuk fel, hogy

H

értéke az

x = L

helyen 0. Így az integrációs állandóra adódik:

\begin{matrix} C = \frac{2 S_{b}}{ϱ_{jég} g} L . \end{matrix}

Most már a

H (x)

magasságprofil megadható:

\begin{matrix} H (x) = \sqrt[]{\frac{2 S_{b}}{ϱ_{jég} g} (L - x)} . \end{matrix}

Megadhatjuk

H

legnagyobb értékét, melyet az

x = 0

helyen vesz fel a függvény:

\begin{matrix} H_{m} = \sqrt[]{\frac{2 S_{b}}{ϱ_{jég} g} L} . \end{matrix}

3.2c. Grönland modelljében a jégsapka alapja egy téglalap, amelynek területe

A = 10 L^{2}

. A jégsapka térfogatát úgy fogjuk megkapni, ha a 3.2b. feladatrészben megismert magasságprofilt erre a területre integráljuk.

\begin{matrix} V_{jég} & = (5 L) 2 \int_{0}^{L} H (x) d x = 10 L \int_{0}^{L} {(\frac{2 S_{b}}{ϱ_{jég} g})}^{\frac{1}{2}} \sqrt[]{L - x} d x = \\ = 10 L H_{m} \int_{0}^{L} \sqrt[]{1 - \frac{x}{L}} d x . \end{matrix}

Áttérve az

u = 1 - x / L

integrálási változóra:

\begin{matrix} V_{jég} = 10 L^{2} H_{m} \int_{0}^{1} \sqrt[]{u} d u = 10 L^{2} H_{m} \cdot \frac{2}{3} . \end{matrix}

Felhasználva, hogy

H_{m} \propto L^{1 / 2}

, illetve az

L \propto A^{1 / 2}

arányosságot azt kapjuk, hogy

V_{jég} \propto A^{5 / 4}

. Tehát a keresett kitevő

γ = 5 / 4

.
3.3. A szimmetria miatt a jégválasztónál a jég

x

-irányú sebessége 0, tehát

v_{x} (x = 0) = 0

. Tekintsük a jégsapka

x = 0

és

x > 0

között elhelyezkedő,

Δ y

szélességű darabját! Erre a darabra a hóesések miatt egységnyi idő alatt

V_{be} = c x Δ y

térfogatú jég rakódik. Eközben a kiszemelt jégdarab

x > 0

-nál elhelyezkedő,

H_{m} Δ y

területű, függőleges keresztmetszetén egységnyi idő alatt

V_{ki} = v_{x} (x) H_{m} Δ y

térfogatú jég áramlik ki. Mivel a jégsapka alakja időben állandósult állapotban található,

V_{be} = V_{ki}

, ahonnan a

\begin{matrix} v_{x} (x) = \frac{c x}{H_{m}} \end{matrix}

eredményt kapjuk.
3.4. A jég áramlási sebességének komponenseire vonatkozó

d v_{x} / d x + d v_{z} / d z = 0

egyenletből, valamint a 3.3. feladatrész eredményét használva:

\begin{matrix} \frac{d v_{z}}{d z} = - \frac{c}{H_{m}} . \end{matrix}

Integrálás után:

\begin{matrix} v_{z} (z) = - \frac{c z}{H_{m}} + C, \end{matrix}

ahol a

C

integrálási változó a

v_{z} (z = 0) = 0

feltétel miatt zérus. A jégdarabkák függőleges sebességkomponense tehát:

\begin{matrix} v_{z} (z) = - \frac{c z}{H_{m}} . \end{matrix}

3.5. A jégdarabka sebességének

x

- és

z

-irányú komponensére kapott kifejezések differenciálegyenleteket szolgáltatnak az

x (t)

z (t)

koordinátákra:

\begin{matrix} \frac{d x}{d t} = \frac{c}{H_{m}} x, \frac{d z}{d t} = - \frac{c}{H_{m}} z . \end{matrix}

A kezdeti feltételeket (

z (0) = H_{m}, x (0) = x_{i}

) figyelembe véve a következő két függvény adódik eredményül:

\begin{matrix} x (t) = x_{i} e^{\frac{c}{H_{m}} t}, z (t) = H_{m} e^{- \frac{c}{H_{m}} t} . \end{matrix}

A két függvényt összeszorozva az idő kiküszöbölhető:

x \cdot z = x_{i} H_{m}

, amiből látható, hogy a jégdarabka pályája egy

\begin{matrix} x = \frac{x_{i} H_{m}}{z} \end{matrix}

egyenletű hiperbola.
3.6. A jégválasztónál (

x = 0

) az áramlás csak függőleges irányú, és a

z (t)

függvényt a 3.5. feladatrészben már felírtuk. Képezzük ennek inverzét:

\begin{matrix} τ (z) = \frac{H_{m}}{c} ln (\frac{H_{m}}{z}) . \end{matrix}

3.7a. A

c_{ig}

jégképződési sebesség meghatározásához szükségünk van a következő adatokra:

T_{1} = 11700

év;

z_{1} = 3060 m - 1492 m = 1568

H_{m} = 3060

m. A 3.6. feladatrészben levezetett függvényt használva:

\begin{matrix} c_{ig} = \frac{H_{m}}{T_{1}} ln (\frac{H_{m}}{z_{1}}) = 0, 175 m/év . \end{matrix}

A jégkorszak 120 ezer évvel ezelőtti kezdete a feladat szövege szerint 3040 m mélységnek feleltethető meg. Használjuk a jégfolyam áramlási sebességének függőleges komponensére a 3.4. feladatrészben kapott összefüggést:

\begin{matrix} \frac{d z}{d t} = - \frac{c}{H_{m}} z . \end{matrix}

Átrendezve, majd mindkét oldalt integrálva 3040 m mélységtől a felszínig:

\begin{matrix} H_{m} (- \frac{1}{z}) d z & = & c d t, \\ H_{m} ln (\frac{H_{m}}{H_{m} - 3040}) & = & \int_{11 700 év}^{120 000 év} c_{jk} d t + \int_{0}^{11 700 év} c_{ig} d t, \\ H_{m} ln (\frac{H_{m}}{H_{m} - 3040}) & = & c_{jk} \cdot (108 300 év) + c_{ig} \cdot (11 700 év) . \end{matrix}

Az egyenlet rendezése és behelyettesítés után a

c_{jk} = 0, 123

m/év eredményt kapjuk, ami sokkal kevesebb csapadékot jelent, mint napjainkban.
3.7b. A feladat szövegében (lásd a KöMaL múlt havi számát) az 5. ábra

(b)

grafikonjáról leolvasható, hogy a jégkorszakból a jégkorszak utáni időszakba történő átmenetkor a

δ^{18}

O értéke kb.

- 43

ezrelékről

- 34

ezrelékre változott. Az 5. ábra

(a)

grafikonja szerint

δ^{18}

O értékének ilyen változása kb.

- 40^{\circ}

C és

- 30^{\circ}

C hőmérsékletek között következik be, ez

10^{\circ}

C hőmérsékletemelkedést jelent.

3.8. A jégsapka alapját modellező téglalap területét ismerve kiszámolható a téglalap

L

hosszúságparamétere:

\begin{matrix} L = \sqrt[]{A_{G} / 10} = 4, 14 \cdot 10^{5} m . \end{matrix}

A jégsapka térfogatának kiszámításához használjuk a 3.2b. és 3.2c. részben kapott eredményeket!

\begin{matrix} V_{jég} = \frac{20}{3} L^{2} H_{m} = \frac{20}{3} L^{5 / 2} \sqrt[]{\frac{2 S_{b}}{ϱ_{jég} g}} = 3, 46 \cdot 10^{15} m^{3} . \end{matrix}

Ennek a jégnek a megolvadása során keletkező víz térfogata:

\begin{matrix} V_{víz} = \frac{ϱ_{jég}}{ϱ_{víz}} V_{jég} = 3, 18 \cdot 10^{15} m^{3}, \end{matrix}

ezt az eredményt elosztva a Föld óceánjainak teljes területével megkapjuk az olvadás okozta átlagos vízszintemelkedést:

\begin{matrix} h = \frac{V_{víz}}{A_{óceán}} = 8, 82 m . \end{matrix}

3.9. Az óceán felszíne ekvipotenciális. A vízfelszín

h

magasságban lévő, Grönlandtól

r

távolságra elhelyezkedő,

m

tömegű darabkájának potenciális energiája egyrészt a Föld gravitációs terétől (

m g h

), másrészt Grönland gravitációs vonzásából

(- G \frac{m_{jég} m}{r})

származik:

\begin{matrix} U = m g h - G \frac{m_{jég} m}{r}, \end{matrix}

ebből kifejezve a vízszint

h

magasságát:

\begin{matrix} h = h_{0} + \frac{G m_{jég}}{g r}, \end{matrix}

ahol bevezettük a

h_{0} = U / m g

jelölést. A 2. ábrán látható

ϑ

középponti szöggel az

r

távolság kifejezhető, ennek segítségével megkapható a vízmagasság

θ

-függése:

\begin{matrix} h (ϑ) = h_{0} + \frac{G m_{jég}}{2 g R_{F} | sin (ϑ / 2) |} . \end{matrix}

2. ábra.

Az ismert adatokat és a Grönlandon található jég tömegét (

m_{jég} = ϱ_{jég} V_{jég} = 3, 18 \cdot 10^{18} kg

) behelyettesítve:

\begin{matrix} h (ϑ) = h_{0} + \frac{1, 69 m}{| sin (ϑ / 2) |} . \end{matrix}

A Grönland és Koppenhága között lévő körívhez tartozó

ϑ

középponti szög:

\begin{matrix} ϑ = \frac{3500 km}{R_{F}} = 31, 4^{\circ}, \end{matrix}

Grönland és a tőle legtávolabbi földrajzi pont közötti középponti szög pedig

180^{\circ}

, ezzel a keresett vízszintkülönbség:

\begin{matrix} h_{CPH} - h_{OPP} = h_{0} + \frac{1, 69 m}{| sin (31, 4^{\circ} / 2) |} - (h_{0} + \frac{1, 69 m}{| sin (180^{\circ} / 2) |}) = 4, 56 m . \end{matrix}