Feladat: 2013. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 2013/október, 432 - 436. oldal  PDF file
Témakör(ök): Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Olvadás, fagyás, Földrajzzal kapcsolatos feladatok, Egyéb magfizika
Hivatkozás(ok):Feladatok megoldásai: 2013/november: 2013. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
3. feladat. A grönlandi jégsapka
 

Bevezetés. Ez a feladat a grönlandi jégsapkáról, a világ második legnagyobb összefüggő jégtakarójáról szól, ami a 4(a). ábrán látható. Egyszerűsített modellünkben Grönlandot egy 2L szélességű és 5L hosszúságú téglalapnak tekintjük, ahol a földfelszín a tengerszinttel azonos magasságban van, és a területét teljes mértékben összenyomhatatlan jég borítja (4(b). ábra). A jég ϱjég sűrűségét tekintsük állandónak! A jégsapka H(x) magassága nem függ az y koordinátától, és a magasság nulláról a maximális Hm értékig nő, ahogy a parttól, (x=±L) a téglalap észak-déli felezővonaláig (az y tengelyig, a ,,jégválasztóig'') haladunk. Ez a magasságprofil a 4(c). ábrán látható.
 


4. ábra. (a) Grönland térképe, amely a jégsapka kiterjedését és a jégmentes parti területeket mutatja. (b) A grönlandi jégsapka durva modellje; egy jéggel borított, 2L és 5L oldalú, az (x,y) síkban fekvő téglalap. A jégválasztó vonal, azaz a jégsapka maximális, Hm magasságú gerince az y tengely felett fekszik. (c) A jégsapka (x,z) síkú (függőleges) síkmetszete, melyen a jégtakaró H(x) magasságprofilja látható. A H(x) magasság független az y koordinátától a teljes 0<y<5L tartományban, és hirtelen nulla értékre esik y=0-ban és y=5L-ben. Az y tengely jelöli a jégválasztó vonal helyét. Az érthetőség kedvéért az ábra függőleges irányú léptéke nagyobb a vízszintes léptéknél. A jég sűrűsége konstans, ϱjég
 
Két hasznos összefüggés. Ebben a részben felhasználhatod a következő integrált:
011-xdx=23,
és az (1+x)a1+ax közelítést, amely |ax|1 esetén érvényes.
A jégsapka magasságprofilja. Rövid időskálán a jégsapka egy összenyomhatatlan hidrosztatikai rendszer, melyben a H(x) magasságprofil időben állandó.
3.1. Add meg a jégtakaró belsejében a p(x,z) nyomást, mint a földfelszíntől (tengerszinttől) mért z magasság és a jégválasztó vonaltól mért x távolság függvényét! Hanyagold el a légköri nyomást!  (0,3 pont)
Most tekints egy rögzített, egyensúlyban levő függőleges jégréteget, amely a kisméretű, vízszintes ΔxΔy alaplap fölött helyezkedik el, x és x+Δx között, ahogy ezt a szaggatott vonalak mutatják a 4(c). ábrán! A Δy mérete nem számít. A jégréteg befelé és kifelé eső oldalának magasságkülönbsége miatt e két függőleges oldalon ható eredő erők vízszintes komponensei különböznek. Ezt a ΔF különbséget a vízszintes alaplapon ható ΔF=SbΔxΔy súrlódási erő kompenzálja, amelyet a földfelszín fejt ki a ΔxΔy területű alapra, ahol Sb=100 kPa.
3.2a. Igazold, hogy rögzített x esetén, ha Δx0, akkor Sb=kHdH/dx, és add meg k-t!  (0,9 pont)
3.2b. Vezesd le a magasságprofilt megadó H(x) kifejezést a ϱjég, g, L, Sb, valamint a jégválasztótól mért x távolság függvényében! Az eredményből látható, hogy a jégsapka Hm legnagyobb magassága a HmL1/2 egyenlet szerint skálázódik az L félszélességgel.  (0,8 pont)
3.2c. Határozd meg azt a γ kitevőt, ami szerint a jégsapka teljes Vjég térfogata skálázódik a téglalap alakú sziget A területével, VjégAγ!  (0,5 pont)
A jégsapka dinamikája. Hosszabb időskálán a jég egy viszkózus, összenyomhatatlan folyadék, amely a gravitáció hatására a középső résztől a tengerparti rész felé áramlik. Ebben a modellben a H(x) jégprofil stacionárius alakja dinamikusan valósul meg; a középső területeken hóesés hatására növekvő jégmennyiséget a part mentén bekövetkező hóolvadás kompenzálja. A jégsapka alakjával kapcsolatban továbbra is használjuk a 4(b). és 4(c). ábrán szereplő egyszerűsítéseket, és még alkalmazzuk a következő feltevéseket is modellünkben:
1) A jég az (x,z) síkban áramlik, és a jégválasztó vonaltól (az y tengelytől) távolodik.
2) Középen a hóesések miatti jégképződés c sebessége (méter/év) állandó.
3) A jég csak a partmenti x=±L területeken, olvadás útján hagyja el a szigetet.
4) A jég áramlási sebességének vx=dx/dt vízszintes (x irányú) komponense a z magasságtól független.
5) A jég áramlási sebességének vz=dz/dt függőleges (z irányú) komponense x-től független.
Vizsgáld csak azt a |x|L középső tartományt a jégsapka tetején, ahol a jégtakaró vastagsága alig változik, közel állandónak tekinthető, azaz H(x)Hm.
3.3. A tömegmegmaradást használva határozd meg a jég áramlásának vx vízszintes sebességkomponensét a c, x és Hm mennyiségek függvényében!  (0,6 pont)
A jég összenyomhatatlanságának feltevéséből, (tehát abból, hogy a jég ϱjég sűrűsége állandó), és a tömegmegmaradásból az alábbi összefüggés következik a jég áramlási sebességének komponenseire:
dvxdx+dvzdz=0.

3.4. Add meg, hogyan függ a jégfolyam sebességének vz függőleges komponense a z magasságtól!  (0,6 pont)
Egy kis jégdarab, amely kezdetben a jégfelszín (xi,Hm) pontjában található, az idő múlásával a jégáram részeként egy z(x) pályán (trajektórián) mozog a függőleges (x,z) síkban.
3.5. Vezesd le ennek a pályának a z(x) egyenletét!  (0,9 pont)
Kor- és éghajlat-indikátorok a mozgó jégsapkában. A jégfolyam vx(x) és vz(z) sebességkomponensei alapján megbecsülhető egy adott Hm-z mélységben található jégdarab τ(z) kora.
3.6. Vezesd le a közvetlenül a jégválasztónál (x=0) az alapkőzettől mért z magasságban található jégdarab τ(z) korát!  (1,0 pont)
Grönland jégtáblájának mélyére fúrva az egymásra fagyott múltbéli hórétegeken áthatoló jégmagok (hosszú, henger alakú jégtömbök) emelhetők ki. Az ilyen jégmagok analizálásával feltárhatók a múltbeli éghajlatváltozások, melyek egyik legjobb indikátora a δ18O mennyiség, amit a
δ18O=Rjég-RrefRref1000   
kifejezés definiál, ahol R=[18O]/[16O] jelöli az oxigén két stabil izotópjának, az 18O-nak és az 16O-nak a relatív gyakoriságát. Az Rref referenciaérték az Egyenlítő környéki óceáni vizekben található izotóp-összetételen alapszik.
 

5. ábra. (a) A hóban mérhető δ18O érték és az adott évi átlagos felszíni T hőmérséklet megfigyelt kapcsolata. (b) A δ18O érték a jég felszínétől mért Hm-z mélység függvényében egy, a jégválasztónál (Hm=3060m), a felszíntől az alapkőzetig érő jégmag esetén
 


A grönlandi megfigyelések szerint a hórétegekben a δ18O érték jó közelítéssel lineárisan változik a hőmérséklettel (lásd az 5(a). ábrát). Feltéve, hogy ez az összefüggés mindig igaz volt, egy jégmagból Hm-z mélységben nyert δ18O érték jó becslést szolgáltathat a Grönland környékén ezelőtt τ(z) idővel uralkodó T hőmérséklet értékére.
Egy 3060 m hosszú grönlandi jégmagon végzett δ18O mérések kimutatták, hogy 1492 m mélységben a δ18O érték hirtelen ugrik (5(b). ábra), jelezve az utolsó jégkorszak végét. A jégkorszak 120000 éve kezdődött (ez az időpont 3040 m-es mélységnek felel meg), a jelenlegi jégkorszak-közti időszak pedig 11700 éve kezdődött (ami 1492 m mélységnek feleltethető meg). Tegyük fel, hogy ez a két időszak különböző jégképződési sebességgel írható le: cjk (a jégkorszakban) és cig (a jégkorszak-közti, ún. interglaciális időszakban). Feltehetjük azt is, hogy Hm értéke állandó volt az utóbbi 120 000 évben.
3.7a. Határozd meg a cjk és cig jégképződési sebességeket!  (0,8 pont)
3.7b. Az 5. ábra adatait felhasználva határozd meg a jégkorszakból a jégkorszak utáni időszakba történő átmenetkor bekövetkezett hőmérsékletváltozást!  (0,2 pont)
Tengerszint-emelkedés a grönlandi jégsapka olvadása miatt. A grönlandi jégtakaró teljes elolvadása az óceánok vízszintjének globális emelkedéséhez vezetne. E szintemelkedés durva becsléseként egyszerűen feltehetjük, hogy a Föld óceánjainak teljes felületén, Aóceán=3,611014m2-en, mindenhol ugyanannyival emelkedik meg a vízszint.
3.8. Számítsd ki a grönlandi jégtakaró teljes elolvadása esetén bekövetkező átlagos vízszintemelkedést, ha annak jelenlegi területe AG=1,711012m2 és Sb=100kPa!  (0,6 pont)
A nagy tömegű grönlandi jégsapka gravitációsan vonzóerőt fejt ki a környező óceánra. Ha a jégtakaró elolvad, ez a lokális dagály megszűnik és Grönland közelében a tengerszint lesüllyed. Ez az effektus részben ellensúlyozza az előbb kiszámolt szintemelkedést.
A gravitációs vonzás vízszintre gyakorolt hatása nagyságának megbecsléséhez modellezzük a grönlandi jégtakarót egy földfelszínen elhelyezkedő, a teljes grönlandi jégtakaróval megegyező tömegű pontszerű testtel! Koppenhága a Föld felszíne mentén mérve 3500 km-re fekszik ettől a pontszerű testtől. Feltehető, hogy a Föld a pontszerű test nélkül gömbszimmetrikus és egész felszínét, AFöld=5,101014m2-t óceán borítja. A Föld forgásából származó minden effektus elhanyagolható.
3.9. A modell keretein belül határozd meg a hCPH-hOPP különbséget, azaz a tengerszintek különbségét Koppenhága (hCPH) és a Grönlanddal a földátmérő mentén átellenben (azaz a Grönlandtól legtávolabb) lévő földrajzi pont (hOPP) között!  (1,8 pont)
 
Fizikai állandók táblázata
 

Fénysebesség vákuumbanc=2,998108ms-1Planck-állandó/(2π)=1,05510-34J sGravitációs állandó  G=6,6710-11m3kg-1s-2Nehézségi gyorsulás  g=9,82m s-2Elemi töltés  e=1,60210-19CVákuum permittivitásε0=8,85410-12C2J-1m-1   Elektron tömege  me=9,10910-31kgAvogadro-szám  NA=6,0221023mol-1Boltzmann-állandó  k B=1,38110-23JK-1Meteoritkő fajhője  c=1,2103Jkg-1K-1Meteoritkő hővezetési tényezőjek kő=2,0Wm-1K-1Meteoritkő sűrűsége  ϱ kő=3,3103kgm-3   Meteoritkő olvadáspontjaT kő=1,7103KMeteoritkő olvadáshőjeL kő=2,6105Jkg-1   Ezüst moláris tömegeMAg=1,07910-1kg mol-1   Ezüst sűrűségeϱAg=1,049104kgm-3   Ezüst fajhőjecAg=2,40102Jkg-1K-1Víz moláris tömegeMvíz=1,80110-2kgmol-1   Víz sűrűsége  ϱvíz=0,998103kgm-3Víz hőkapacitása  cvíz=4,181103Jkg-1K-1   Víz forráshőjeLvíz=2,260106Jkg-1   Víz forráspontjaT100=100C=373,15K   Jég, gleccser sűrűségeϱjég=0,917103kgm-3   Gőz fajhője  cgőz=2,080103Jkg-1K-1   Föld tömege  mF=5,971024kgFöld sugara  RF=6,38106mNap tömegemN=1,991030kg   Nap sugara  RN=6,96108m   Átlagos Nap‐Föld távolságaN-F=1,501011m