Feladat:	B.4590	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Szász Dániel Soma
Füzet:	2014/május, 285 - 287. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Gömbi geometria, Körérintők, Térgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/december: B.4590

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Megmutatjuk, hogy pontosan egy ilyen kör létezik. Legyen a $\text{G}$ gömbfelületen $A$ a $k$-ra illeszkedő, $B$ pedig a másik adott pont, jelölje $\text{S}$ a $k$-t tartalmazó síkot, $e$ pedig a $k$ kör $A$-beli érintőegyenesét az $\text{S}$ síkban. Mivel $\text{G}\cap \text{S}=k$, az $e$ egyenes $A$-tól különböző pontjai a gömbön kívül vannak, tehát $e$ a gömböt is érinti (1. ábra). Ezért ha valamely $\text{T}$ sík tartalmazza $e$-t, továbbá $\text{G}$-t az $\ell$ körvonalban metszi, akkor $\ell$-nek az $A$-beli érintője is $e$, vagyis $\ell$ az $A$-ban érinti $k$-t.   1. ábra   Ha tehát a $B$ pont és az $e$ egyenes által meghatározott síkot választjuk $\text{T}$-nek, akkor ez a sík a gömbfelület két különböző pontját is tartalmazza, ezért $\text{G}\cap \text{T}$ körvonal lesz, s az előzőek alapján ez a kör $A$-ban érinti $k$-t. Ha viszont valamely $m$ körvonal olyan, hogy az $m$-et $\text{G}$-ből kimetsző $\text{U}$ sík átmegy $A$-n is és $B$-n is, de nem tartalmazza $e$-t, akkor az $\text{S}\cap \text{U}=f$ egyenes benne van az $\text{S}$ síkban és átmegy a $k$ kör $A$ pontján, de különbözik a $k$ kör $A$-beli érintőjétől. Ezért $f$ egy $A$-tól különböző $C$ pontban is metszi $k$-t (2. ábra). Ez a $C$ pont rajta van a $\text{G}\cap \text{U}=m$ körvonalon is, azaz $m$-nek és $k$-nak legalább (könnyen meggondolható, hogy pontosan) két közös pontja van, tehát nem érintik egymást.   2. ábra   Ezzel állításunkat beláttuk.   II. megoldás. Használjuk az I. megoldás jelöléseit, legyen továbbá $\text{E}$ a gömb $A$-val átellenes pontjában a gömb érintősíkja. Feladatunkat a sztereografikus projekciónak nevezett transzformáció segítségével oldjuk meg. Rendeljük hozzá a gömbfelszín tetszőleges, $A$-tól különböző $P$ pontjához a $P\text{'}=\text{E}\cap AP$ pontot (3. ábra). Megmutatjuk, hogy ez a megfeleltetés bijekció a $\text{G}\setminus \left\{A\right\}$ és $\text{E}$ ponthalmazok közt. Ha $P\in \left(\text{G}\setminus \left\{A\right\}\right)$ tetszőleges pont, akkor az $AP$ egyenes nem párhuzamos $\text{E}$-vel, ezért egyértelműen létezik a $P\text{'}\in \text{E}$ pont, ha pedig $Q\text{'}\in \text{E}$ tetszőleges pont, akkor az $AQ\text{'}$ egyenes nincs benne a gömb $A$-beli érintősíkjában, mert az a sík párhuzamos $\text{E}$-vel, ezért az egyenes két pontban metszi a gömbfelszínt, tehát egyértelműen létezik $AQ\text{'}$-nek és $\text{G}$-nek az $A$-tól különböző $Q$ metszéspontja.   3. ábra   Ha $\ell$ olyan $\text{G}$-n lévő körvonal, mely átmegy $A$-n, akkor a megfeleltetésnél kapott $\ell \text{'}$ képe egy egyenes, mert ha $\ell$-et a $\text{T}$ sík metszi ki $\text{G}$-ből, akkor az $A$-t az $\ell$ pontjaival összekötő egyenesek benne vannak $\text{T}$-ben, ezért $\ell \text{'}$ éppen az $\text{E}\cap \text{T}$ egyenes (4. ábra). Megfordítva, ha $m\text{'}$ tetszőleges egyenes $\text{E}$-ben, akkor az $A$ és $m\text{'}$ által meghatározott $\text{U}$ sík a gömbfelszínt egy olyan $A$-n átmenő $m$ körvonalban metszi, melyenek a megfeleltetésnél kapott képe az $m\text{'}$ egyenes. Tehát a megfeleltetés bijekció a $\text{G}$ gömbfelszín $A$ pontján átmenő körvonalai és az $\text{E}$ sík egyenesei közt.   4. ábra   Feladatunk megoldása ezután már egyszerű. Legyen a megfeleltetésnél $k$ képe a $k\text{'}$ egyenes, $B$ képe pedig a $k\text{'}$-re nem illeszkedő $B\text{'}$ pont. A gömbfelszín valamely $n$ köre pontosan akkor érinti $k$-t $A$-ban, ha $k\cap n=\left\{A\right\}$, azaz ha $k\text{'}\cap n\text{'}=\varnothing$, vagyis ha a $k\text{'}$ és $n\text{'}$ egyenesek párhuzamosak (5. ábra). A $B\text{'}$ ponton át pontosan egy $k\text{'}$-vel párhuzamos egyenes húzható, ezért pontosan egy olyan kör van a gömbön, amely $A$-n is és $B$-n is átmegy és érinti $k$-t.   5. ábra     Megjegyzés. A sztereografikus projekciónak sok egyéb érdekes tulajdonsága is van. Például a gömbfelszín $A$-n át nem menő köreinek képe kör lesz $\text{E}$-n. A sztereografikus projekciót térképek készítésénél is gyakran használják, ott van szükség a gömbfelszín síkon való megjelenítésére.