A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Megmutatjuk, hogy pontosan egy ilyen kör létezik. Legyen a gömbfelületen a -ra illeszkedő, pedig a másik adott pont, jelölje a -t tartalmazó síkot, pedig a kör -beli érintőegyenesét az síkban. Mivel , az egyenes -tól különböző pontjai a gömbön kívül vannak, tehát a gömböt is érinti (1. ábra). Ezért ha valamely sík tartalmazza -t, továbbá -t az körvonalban metszi, akkor -nek az -beli érintője is , vagyis az -ban érinti -t.
 1. ábra Ha tehát a pont és az egyenes által meghatározott síkot választjuk -nek, akkor ez a sík a gömbfelület két különböző pontját is tartalmazza, ezért körvonal lesz, s az előzőek alapján ez a kör -ban érinti -t. Ha viszont valamely körvonal olyan, hogy az -et -ből kimetsző sík átmegy -n is és -n is, de nem tartalmazza -t, akkor az egyenes benne van az síkban és átmegy a kör pontján, de különbözik a kör -beli érintőjétől. Ezért egy -tól különböző pontban is metszi -t (2. ábra). Ez a pont rajta van a körvonalon is, azaz -nek és -nak legalább (könnyen meggondolható, hogy pontosan) két közös pontja van, tehát nem érintik egymást.
 2. ábra Ezzel állításunkat beláttuk.
II. megoldás. Használjuk az I. megoldás jelöléseit, legyen továbbá a gömb -val átellenes pontjában a gömb érintősíkja. Feladatunkat a sztereografikus projekciónak nevezett transzformáció segítségével oldjuk meg. Rendeljük hozzá a gömbfelszín tetszőleges, -tól különböző pontjához a pontot (3. ábra). Megmutatjuk, hogy ez a megfeleltetés bijekció a és ponthalmazok közt. Ha tetszőleges pont, akkor az egyenes nem párhuzamos -vel, ezért egyértelműen létezik a pont, ha pedig tetszőleges pont, akkor az egyenes nincs benne a gömb -beli érintősíkjában, mert az a sík párhuzamos -vel, ezért az egyenes két pontban metszi a gömbfelszínt, tehát egyértelműen létezik -nek és -nek az -tól különböző metszéspontja.
 3. ábra Ha olyan -n lévő körvonal, mely átmegy -n, akkor a megfeleltetésnél kapott képe egy egyenes, mert ha -et a sík metszi ki -ből, akkor az -t az pontjaival összekötő egyenesek benne vannak -ben, ezért éppen az egyenes (4. ábra). Megfordítva, ha tetszőleges egyenes -ben, akkor az és által meghatározott sík a gömbfelszínt egy olyan -n átmenő körvonalban metszi, melyenek a megfeleltetésnél kapott képe az egyenes. Tehát a megfeleltetés bijekció a gömbfelszín pontján átmenő körvonalai és az sík egyenesei közt.
 4. ábra Feladatunk megoldása ezután már egyszerű. Legyen a megfeleltetésnél képe a egyenes, képe pedig a -re nem illeszkedő pont. A gömbfelszín valamely köre pontosan akkor érinti -t -ban, ha , azaz ha , vagyis ha a és egyenesek párhuzamosak (5. ábra). A ponton át pontosan egy -vel párhuzamos egyenes húzható, ezért pontosan egy olyan kör van a gömbön, amely -n is és -n is átmegy és érinti -t.
 5. ábra
Megjegyzés. A sztereografikus projekciónak sok egyéb érdekes tulajdonsága is van. Például a gömbfelszín -n át nem menő köreinek képe kör lesz -n. A sztereografikus projekciót térképek készítésénél is gyakran használják, ott van szükség a gömbfelszín síkon való megjelenítésére.
|
|