Feladat:	B.4585	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Törcsvári Zsombor
Füzet:	2014/május, 283. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Algebrai átalakítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/december: B.4585

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A bizonyítandó egyenlőtlenség bal oldalán az $x_1$, $x_2$, $x_3$ helyett $x_4$-et írva az összeg (négyzete) nem nő: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5\right)}^2\ge {\left(4x_4+x_5\right)}^2=16x_4^2+8x_4{x}_5+x_5^2\mathrm{.}}\end{array}$ A kapott összegben $x_4{x}_5$ helyett a nála nem nagyobb $x_5^2$-t tesszük, majd $x_4^2$ együtthatóját $\frac{7}{2}$-del csökkentjük, $x_5^2$ együtthatóját pedig ugyanannyival növeljük: $\begin{array}{c}{\displaystyle 16x_4^2+8x_4{x}_5+x_5^2\ge 16x_4^2+9x_5^2=\frac{32}{2}{x}_4^2+\frac{18}{2}{x}_5^2\ge \frac{25}{2}\left(x_4^2+x_5^2\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha $x_1=x_2=x_3=x_4=x_5$.