Feladat:	B.4544	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Telek Máté László
Füzet:	2014/március, 150 - 152. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/május: B.4544

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A megoldás alapötlete, hogy megkeressük azt a harmadfokú egyenletet, amelynek gyökei éppen $x$, $y$ és $z$. A harmadfokú egyenlet legyen $\begin{array}{c}{\displaystyle a{t}^3+b{t}^2+ct+d=0.}\end{array}$ A harmadfokú egyenlet főegyütthatóját tekinthetjük 1-nek ($a=1$), ezért a ViŠte-formulák harmadfokú egyenletre: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x+y+z}& {\displaystyle =-b\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle xy+yz+zx}& {\displaystyle =c\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle xyz}& {\displaystyle =-d\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Azt rögtön látjuk, hogy $b=-3$. A második egyenlet bal oldalát közös nevezőre hozva: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{5}{12}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{xy+yz+zx}{xyz}=-\frac{c}{d}\mathrm{.}}\end{array}$ Az $x$, $y$, $z$ számok az egyenlet gyökei, így teljesül, hogy ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x^3-3x^2+cx+d}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle y^3-3y^2+cy+d}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle z^3-3z^2+cz+d}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}$ E három egyenlet összeadásával: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^3+y^3+z^3-3x^2-3y^2-3z^2+c\left(x+y+z\right)+3d=0.}\end{array}$ Rendezés és az ismert értékek beírása után ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 45+3c+3d}& {\displaystyle =3\left(x^2+y^2+z^2\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x^2+y^2+z^2}& {\displaystyle =15+c+d\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Másrészt ${\left(x+y+z\right)}^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx$ alapján $\begin{array}{c}{\displaystyle 9=x^2+y^2+z^2+2c=15+3c+d\mathrm{.}}\end{array}$ A második egyenlet átalakításából már tudjuk, hogy $d=-\frac{12c}{5}$, tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle 9=15+3c-\frac{12}{5}c\mathrm{.}}\end{array}$ Ebből rendezéssel $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{3}{5}c=-\mathrm{6,}c=-10.}\end{array}$ Visszahelyettesítve végül $d=24$. Megkaptuk azt a harmadfokú egyenletet, amelynek gyökei $x$, $y$, $z$: $\begin{array}{c}{\displaystyle t^3-3t^2-10t+24=0.}\end{array}$ A $t=2$ értéket behelyettesítve látjuk, hogy ez lesz az egyenlet egyik gyöke. Emiatt a $\left(t-2\right)$ gyöktényező kiemelhető az egyenletből. ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle t^3-2t^2-t^2+2t-12t+24}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(t-2\right)\left(t^2-t-12\right)}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}$ A másodfokú tényező szorzattá alakításával $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(t-2\right)\left(t-4\right)\left(t+3\right)=0.}\end{array}$ Az egyenletrendszer megoldásai a $\left(-3;2;4\right)$ számhármas és permutációi.