Feladat: B.4544 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Telek Máté László 
Füzet: 2014/március, 150 - 152. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2013/május: B.4544

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:
x+y+z=3,1x+1y+1z=512,x3+y3+z3=45.


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. A megoldás alapötlete, hogy megkeressük azt a harmadfokú egyenletet, amelynek gyökei éppen x, y és z. A harmadfokú egyenlet legyen
at3+bt2+ct+d=0.

A harmadfokú egyenlet főegyütthatóját tekinthetjük 1-nek (a=1), ezért a ViŠte-formulák harmadfokú egyenletre:
x+y+z=-b,xy+yz+zx=c,xyz=-d.
Azt rögtön látjuk, hogy b=-3. A második egyenlet bal oldalát közös nevezőre hozva:
512=1x+1y+1z=xy+yz+zxxyz=-cd.
Az x, y, z számok az egyenlet gyökei, így teljesül, hogy
x3-3x2+cx+d=0,y3-3y2+cy+d=0,z3-3z2+cz+d=0.
E három egyenlet összeadásával:
x3+y3+z3-3x2-3y2-3z2+c(x+y+z)+3d=0.
Rendezés és az ismert értékek beírása után
45+3c+3d=3(x2+y2+z2),x2+y2+z2=15+c+d.
Másrészt (x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx alapján
9=x2+y2+z2+2c=15+3c+d.
A második egyenlet átalakításából már tudjuk, hogy d=-12c5, tehát
9=15+3c-125c.
Ebből rendezéssel
35c=-6,c=-10.
Visszahelyettesítve végül d=24. Megkaptuk azt a harmadfokú egyenletet, amelynek gyökei x, yz:
t3-3t2-10t+24=0.
A t=2 értéket behelyettesítve látjuk, hogy ez lesz az egyenlet egyik gyöke. Emiatt a (t-2) gyöktényező kiemelhető az egyenletből.
t3-2t2-t2+2t-12t+24=0,(t-2)(t2-t-12)=0.
A másodfokú tényező szorzattá alakításával
(t-2)(t-4)(t+3)=0.
Az egyenletrendszer megoldásai a (-3;2;4) számhármas és permutációi.