Feladat:	B.4508	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Schwarcz Tamás
Füzet:	2014/március, 149 - 150. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Irracionális egyenlőtlenségek, Paraméteres egyenlőtlenségek, Függvényvizsgálat differenciálszámítással
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/január: B.4508

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Azt fogjuk csupán felhasználni, hogy ha $0<t<1$, akkor $t^{\frac{3}{4}}>t$. Legyen $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\frac{a}{a+b+c}\mathrm{,}y=\frac{b}{a+b+c}\text{és}z=\frac{c}{a+b+c}\mathrm{.}}\end{array}$ Ekkor $0<x\mathrm{,}y\mathrm{,}z<1$ és $x+y+z=1$, így $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a^{\frac{3}{4}}+b^{\frac{3}{4}}+c^{\frac{3}{4}}}{{\left(a+b+c\right)}^{\frac{3}{4}}}=x^{\frac{3}{4}}+y^{\frac{3}{4}}+z^{\frac{3}{4}}>x+y+z=1.}\end{array}$ Ebből pedig már következik az állítás.   II. megoldás. Az $a$, $b$ és $c$ pozitív számok, ezért nyilván $a<a+b+c$, amiből $\begin{array}{c}{\displaystyle a^{\frac{1}{4}}<{\left(a+b+c\right)}^{\frac{1}{4}}\mathrm{,}\text{így}{a}^{-\frac{1}{4}}>{\left(a+b+c\right)}^{-\frac{1}{4}}\mathrm{.}}\end{array}$ Ugyanilyen megfontolásból látjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle b^{-\frac{1}{4}}>{\left(a+b+c\right)}^{-\frac{1}{4}}\mathrm{,}\text{illetve}{c}^{-\frac{1}{4}}>{\left(a+b+c\right)}^{-\frac{1}{4}}}\end{array}$ is teljesül. Ezek alapján: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle a^{\frac{3}{4}}+b^{\frac{3}{4}}+c^{\frac{3}{4}}}& {\displaystyle =a\cdot a^{-\frac{1}{4}}+b\cdot b^{-\frac{1}{4}}+c\cdot c^{-\frac{1}{4}}>}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle >a\cdot {\left(a+b+c\right)}^{-\frac{1}{4}}+b\cdot {\left(a+b+c\right)}^{-\frac{1}{4}}+c\cdot {\left(a+b+c\right)}^{-\frac{1}{4}}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\left(a+b+c\right)\cdot {\left(a+b+c\right)}^{-\frac{1}{4}}={\left(a+b+c\right)}^{\frac{3}{4}}\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ ami éppen a feladat állítását adja.