Feladat: B.4508 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Schwarcz Tamás 
Füzet: 2014/március, 149 - 150. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Irracionális egyenlőtlenségek, Paraméteres egyenlőtlenségek, Függvényvizsgálat differenciálszámítással
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2013/január: B.4508

Mutassuk meg, hogy ha a, b és c pozitív számok, akkor
a34+b34+c34>(a+b+c)34.


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. Azt fogjuk csupán felhasználni, hogy ha 0<t<1, akkor t34>t. Legyen
x=aa+b+c,y=ba+b+cész=ca+b+c.


Ekkor 0<x,y,z<1 és x+y+z=1, így
a34+b34+c34(a+b+c)34=x34+y34+z34>x+y+z=1.
Ebből pedig már következik az állítás.
 
II. megoldás. Az a, b és c pozitív számok, ezért nyilván a<a+b+c, amiből
a14<(a+b+c)14,ígya-14>(a+b+c)-14.
Ugyanilyen megfontolásból látjuk, hogy
b-14>(a+b+c)-14,illetvec-14>(a+b+c)-14
is teljesül. Ezek alapján:
a34+b34+c34=aa-14+bb-14+cc-14>>a(a+b+c)-14+b(a+b+c)-14+c(a+b+c)-14==(a+b+c)(a+b+c)-14=(a+b+c)34,
ami éppen a feladat állítását adja.