Feladat:	B.4465	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szaksz Bence
Füzet:	2014/január, 20 - 21. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai bizonyítások, Trigonometriai azonosságok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/szeptember: B.4465

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Legyen az $A_0{A}_1$ szakasz hossza egységnyi, ekkor az $A_8{A}_{10}B$ szabályos háromszög $B$-ből induló magassága $m=A_{9}B=\sqrt[]{3}$. A szóban forgó szögeket jelölje rendre $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$. Ekkor $\text{tg}\alpha =\sqrt[]{3}/9$, $\text{tg}\beta =\frac{\sqrt[]{3}}{7}$, $\text{tg}\gamma =\frac{\sqrt[]{3}}{6}$, $\text{tg}\delta =\frac{\sqrt[]{3}}{5}$. Az összegképlet szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{tg}\left(\alpha +\delta \right)=\frac{\text{tg}\alpha +\text{tg}\delta }{1-\text{tg}\alpha \text{tg}\delta }=\frac{\frac{\sqrt[]{3}}{9}+\frac{\sqrt[]{3}}{5}}{1-\frac{\sqrt[]{3}}{9}\cdot \frac{\sqrt[]{3}}{5}}=\frac{\frac{14\sqrt[]{3}}{45}}{\frac{42}{45}}=\frac{\sqrt[]{3}}{3}\mathrm{.}}\end{array}$     Hasonlóan $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{tg}\left(\beta +\gamma \right)=\frac{\text{tg}\beta +\text{tg}\gamma }{1-\text{tg}\beta \text{tg}\gamma }=\frac{\frac{\sqrt[]{3}}{7}+\frac{\sqrt[]{3}}{6}}{1-\frac{\sqrt[]{3}}{7}\cdot \frac{\sqrt[]{3}}{6}}=\frac{\frac{13\sqrt[]{3}}{42}}{\frac{39}{42}}=\frac{\sqrt[]{3}}{3}\mathrm{.}}\end{array}$ A négy szög mindegyike kisebb, mint a $B{A}_6{A}_8\sphericalangle ={30}^{\circ }$, ezért csak $\alpha +\delta =\beta +\gamma ={30}^{\circ }$ lehetséges. Ezzel beláttuk, hogy a két-két szög összege ${30}^{\circ }$, tehát a négy szög összege valóban ${60}^{\circ }$.   Megjegyzés. Hárman is adtak elegáns megoldást komplex számok alkalmazásával. A jelöléseket követően azt az ismert tulajdonságot használták fel, hogy szorzáskor a komplex számok argumentumai összeadódnak.