Feladat:	B.4363	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bősze Zsuzsanna ,  Bunth Gergely ,  Czipó Bence ,  Damásdi Gábor ,  Dudás Zsolt ,  Hajnal Máté ,  Herczeg József ,  Klincsik Gergely ,  Máthé László ,  Mihálykó András ,  Perjési Gábor ,  Schulz Vera Magdolna ,  Sieben Bertilla ,  Strenner Péter ,  Szilágyi Gergely Bence ,  Tossenberger Tamás ,  Weimann Richárd ,  Zelena Réka ,  Zilahi Tamás ,  Zsakó András
Füzet:	2013/február, 86. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Természetes számok, Konstruktív megoldási módszer
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/május: B.4363

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Ha $\begin{array}{c}{\displaystyle z=\frac{xy}{xy+\left(1-x\right)\left(1-y\right)}\mathrm{,}}\end{array}$ akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(\frac{1}{x}-1\right)\left(\frac{1}{y}-1\right)=\frac{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}{xy}=\left(\frac{1}{z}-1\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Ebből következik, hogy ha a táblán lévő számok halmazát $A$ jelöli, akkor a $\begin{array}{c}{\displaystyle \prod _{a\in A}^{}\left(\frac{1}{a}-1\right)}\end{array}$ szorzat értéke az eljárás során nem változik. Kezdetben ez az érték $2010!$, így ha az eljárás végén a $v$ szám marad a táblán, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{v}-1=2010!\mathrm{,}\text{azaz}v=\frac{1}{2010!+1}\mathrm{.}}\end{array}$