Feladat: B.4363 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bősze Zsuzsanna ,  Bunth Gergely ,  Czipó Bence ,  Damásdi Gábor ,  Dudás Zsolt ,  Hajnal Máté ,  Herczeg József ,  Klincsik Gergely ,  Máthé László ,  Mihálykó András ,  Perjési Gábor ,  Schulz Vera Magdolna ,  Sieben Bertilla ,  Strenner Péter ,  Szilágyi Gergely Bence ,  Tossenberger Tamás ,  Weimann Richárd ,  Zelena Réka ,  Zilahi Tamás ,  Zsakó András 
Füzet: 2013/február, 86. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Természetes számok, Konstruktív megoldási módszer
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2011/május: B.4363

Egy táblára felírtuk 2-től 2011-ig a természetes számok reciprokait. Egy lépésben letörlünk két számot, x-et és y-t, s helyettük felírjuk az
xyxy+(1-x)(1-y)
számot. Ezt ismételve 2009-szer, csak egy szám marad. Mi lehet ez a szám?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. Ha
z=xyxy+(1-x)(1-y),
akkor
(1x-1)(1y-1)=(1-x)(1-y)xy=(1z-1).
Ebből következik, hogy ha a táblán lévő számok halmazát A jelöli, akkor a
aA(1a-1)
szorzat értéke az eljárás során nem változik. Kezdetben ez az érték 2010!, így ha az eljárás végén a v szám marad a táblán, akkor
1v-1=2010!,azazv=12010!+1.