Feladat:	B.4342	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Forrás Bence
Füzet:	2012/november, 477 - 478. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Kombinációk
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/március: B.4342

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Jelöljük $m\left(i\right)$-vel azoknak a húzásoknak a számát, amelyeknél az $i$ szám ($2\le i\le 87$) a második a sorba rendezés után; ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle m\left(i\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i-1}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{90-i}{3}\right)\mathrm{,}}\end{array}$ hiszen az első helyre $i-1$ elemből kell kiválasztani egyet, a harmadik, negyedik, ötödik helyre pedig $90-i$-ből hármat. Felbontjuk a binomiális együtthatókat: $\begin{array}{c}{\displaystyle m\left(i\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i-1}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{90-i}{3}\right)=\frac{\left(i-1\right)\left(90-i\right)\left(89-i\right)\left(88-i\right)}{6}\mathrm{.}}\end{array}$ Ez egy, a $\text{Z}\cap \left[2;87\right]$ halmazon értelmezett negyedfokú függvény, amely csak pozitív értékeket vesz fel. Megvizsgáljuk, hogy a függvény hol nő és hol csökken. A függvény nő, ha ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle m\left(i\right)}& {\displaystyle <m\left(i+1\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle *\frac{\left(i-1\right)\left(90-i\right)\left(89-i\right)\left(88-i\right)}{6}}& {\displaystyle <\frac{i\left(89-i\right)\left(88-i\right)\left(87-i\right)}{6}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Szorzunk a nevezővel és osztunk $\left(89-i\right)\left(88-i\right)\ne 0$-val: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \left(i-1\right)\left(90-i\right)}& {\displaystyle <i\left(87-i\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle -i^2+91i-90}& {\displaystyle <-i^2+87i\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 4i}& {\displaystyle <\mathrm{90,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle i}& {\displaystyle <22\mathrm{,}5.}\hfill \end{array}}$ Ez azt jelenti, hogy $m\left(i\right)$ $2$-től $22$-ig növekszik. A függvény csökken, ha $m\left(i\right)>m\left(i+1\right)$; a fentiekhez hasonlóan ekkor $i>22\mathrm{,}5$. Tehát a függvény $23$ és $87$ között csökken. Ez és az előző állítás együtt azt jelentik, hogy a keresett érték $22$ vagy $23$. ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle m\left(22\right)}& {\displaystyle =\frac{\left(22-1\right)\left(90-22\right)\left(89-22\right)\left(88-22\right)}{6}=\frac{21\cdot 68\cdot 67\cdot 66}{6}=\frac{6314616}{6}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle m\left(23\right)}& {\displaystyle =\frac{\left(23-1\right)\left(90-23\right)\left(89-23\right)\left(88-23\right)}{6}=\frac{22\cdot 67\cdot 66\cdot 65}{6}=\frac{6323460}{6}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Mivel $m\left(23\right)>m\left(22\right)$, a $23$-as szerepel leggyakrabban a második helyen a nagyság szerinti sorrendben.