Feladat: B.4342 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Forrás Bence 
Füzet: 2012/november, 477 - 478. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Kombinációk
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2011/március: B.4342

Egy ötöslottó-húzás nyerőszámait nagyság szerint növekvő sorrendben írva melyik szám fordul elő leggyakrabban a második helyen?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. Jelöljük m(i)-vel azoknak a húzásoknak a számát, amelyeknél az i szám (2i87) a második a sorba rendezés után; ekkor
m(i)=(i-11)(90-i3),
hiszen az első helyre i-1 elemből kell kiválasztani egyet, a harmadik, negyedik, ötödik helyre pedig 90-i-ből hármat. Felbontjuk a binomiális együtthatókat:
m(i)=(i-11)(90-i3)=(i-1)(90-i)(89-i)(88-i)6.
Ez egy, a Z[2;87] halmazon értelmezett negyedfokú függvény, amely csak pozitív értékeket vesz fel.
Megvizsgáljuk, hogy a függvény hol nő és hol csökken. A függvény nő, ha
m(i)<m(i+1),*(i-1)(90-i)(89-i)(88-i)6<i(89-i)(88-i)(87-i)6.
Szorzunk a nevezővel és osztunk (89-i)(88-i)0-val:
(i-1)(90-i)<i(87-i),-i2+91i-90<-i2+87i,4i<90,i<22,5.
Ez azt jelenti, hogy m(i) 2-től 22-ig növekszik.
A függvény csökken, ha m(i)>m(i+1); a fentiekhez hasonlóan ekkor i>22,5. Tehát a függvény 23 és 87 között csökken.
Ez és az előző állítás együtt azt jelentik, hogy a keresett érték 22 vagy 23.
m(22)=(22-1)(90-22)(89-22)(88-22)6=216867666=63146166,m(23)=(23-1)(90-23)(89-23)(88-23)6=226766656=63234606.
Mivel m(23)>m(22), a 23-as szerepel leggyakrabban a második helyen a nagyság szerinti sorrendben.