Feladat:	B.4364	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bogár Blanka ,  Csősz Gábor ,  Dinev Georgi ,  Dolgos Tamás ,  Emri Tamás ,  Fonyó Viktória ,  Gyarmati Máté ,  Hajnal Máté ,  Kenéz Balázs ,  Lenger Dániel ,  Mátrahegyi Roland ,  Medek Ákos ,  Mihálykó András ,  Nagy Róbert ,  Sagmeister Ádám ,  Schulz Vera Magdolna ,  Strenner Péter ,  Szilágyi Gergely Bence ,  Tossenberger Tamás ,  Viharos Andor ,  Weimann Richárd ,  Weisz Gellért ,  Weisz Ambrus ,  Zelena Réka ,  Zilahi Tamás
Füzet:	2012/április, 220 - 221. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Paraméteres egyenlőtlenségek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/május: B.4364

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Adjunk sorban alsó becslést a bal oldalon szereplő egyes tagokra. $\left(i\right)$ Először felhasználjuk, hogy $a\ge c$ és $b\ge c$, azaz $\left(a+b\right)\ge 2c$, továbbá, hogy $\left(a-b\right)\ge 0$. Így $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a^2-b^2}{c}=\frac{\left(a+b\right)\left(a-b\right)}{c}\ge 2\cdot \left(a-b\right)}\end{array}$ Itt egyenlőség csak $a=c$ és $b=c$, vagy $a=b$ esetén teljesül. $\left(ii\right)$ A $b+c\le 2a$ egyenlőtlenséget a $c-b\le 0$ nem pozitív számmal szorozva az egyenlőtlenség iránya megfordul, tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{c^2-b^2}{a}=\frac{\left(c-b\right)\left(c+b\right)}{a}\ge \left(c-b\right)\frac{2a}{a}=2\left(c-b\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Egyenlőség $a=b$ és $a=c$, vagy $b=c$ esetén áll. $\left(iii\right)$ Végül, mivel $a-c\ge 0$ és $a+c>b$ látjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a^2-c^2}{b}=\frac{\left(a+c\right)\left(a-c\right)}{b}\ge \left(a-c\right)\frac{b}{b}=a-c\mathrm{.}}\end{array}$ Ebben az esetben egyenlőség csak $a=c$, azaz $a=b=c$ esetén teljesül. A három egyenlőtlenséget összeadva: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a^2-b^2}{c}+\frac{c^2-b^2}{a}+\frac{a^2-c^2}{b}\ge 2\left(a-b\right)+2\left(c-b\right)+\left(a-c\right)=3a-4b+c\mathrm{.}}\end{array}$ A fenti három részlet alapján egyenlőség kizárólag $a=b=c$ esetén fordul elő.