Feladat: B.4364 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bogár Blanka ,  Csősz Gábor ,  Dinev Georgi ,  Dolgos Tamás ,  Emri Tamás ,  Fonyó Viktória ,  Gyarmati Máté ,  Hajnal Máté ,  Kenéz Balázs ,  Lenger Dániel ,  Mátrahegyi Roland ,  Medek Ákos ,  Mihálykó András ,  Nagy Róbert ,  Sagmeister Ádám ,  Schulz Vera Magdolna ,  Strenner Péter ,  Szilágyi Gergely Bence ,  Tossenberger Tamás ,  Viharos Andor ,  Weimann Richárd ,  Weisz Gellért ,  Weisz Ambrus ,  Zelena Réka ,  Zilahi Tamás 
Füzet: 2012/április, 220 - 221. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Paraméteres egyenlőtlenségek
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2011/május: B.4364

Legyen abc>0. Igazoljuk, hogy
a2-b2c+c2-b2a+a2-c2b3a-4b+c.


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. Adjunk sorban alsó becslést a bal oldalon szereplő egyes tagokra.
(i) Először felhasználjuk, hogy ac és bc, azaz (a+b)2c, továbbá, hogy (a-b)0. Így
a2-b2c=(a+b)(a-b)c2(a-b)
Itt egyenlőség csak a=c és b=c, vagy a=b esetén teljesül.
(ii) A b+c2a egyenlőtlenséget a c-b0 nem pozitív számmal szorozva az egyenlőtlenség iránya megfordul, tehát
c2-b2a=(c-b)(c+b)a(c-b)2aa=2(c-b).
Egyenlőség a=b és a=c, vagy b=c esetén áll.
(iii) Végül, mivel a-c0 és a+c>b látjuk, hogy
a2-c2b=(a+c)(a-c)b(a-c)bb=a-c.
Ebben az esetben egyenlőség csak a=c, azaz a=b=c esetén teljesül.
A három egyenlőtlenséget összeadva:
a2-b2c+c2-b2a+a2-c2b2(a-b)+2(c-b)+(a-c)=3a-4b+c.

A fenti három részlet alapján egyenlőség kizárólag a=b=c esetén fordul elő.