Kezdőlap


Feladat:	C.1069	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fonyó Viktória
Füzet:	2012/április, 217 - 219. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Logikai feladatok, Különleges függvények
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/február: C.1069

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Vizsgáljuk meg először algebrailag a tanulók által megadott képleteket.
A

b)

nyilván nem lehet a helyes megoldás, mivel

n = 3

esetén az ábra

1 + 3 + 5 + 3 + 1 = 13

kis négyzetből áll, míg a képlet

1 + (n - 1) \cdot 4 = 1 + (3 - 1) \cdot 4 = 9

elemet jósol.
Az

a)

c)

d)

képletek szerinti műveleteket elvégezve:

\begin{matrix} {(2 n - 1)}^{2} - 4 \cdot \frac{n (n - 1)}{2} & = 4 n^{2} - 4 n + 1 - (2 n^{2} - 2 n) = 2 n^{2} - 2 n + 1, \\ 1 + (1 + 2 + ... + (n - 1)) \cdot 4 & = 1 + \frac{n (n - 1)}{2} \cdot 4 = 1 + 2 n (n - 1) = 2 n^{2} - 2 n + 1, \\ {(n - 1)}^{2} - n^{2} & = n^{2} - 2 n + 1 + n^{2} = 2 n^{2} - 2 n + 1. \end{matrix}

Látható, hogy az utóbbi három képlet bármely

n \in N^{+}

esetén azonos eredményt szolgáltat, ezért vagy mindegyik helyes, vagy pedig mindegyik hibás.
A továbbiakban azt fogjuk megmutatni, hogy ezek az ötletek helyes gondolatokon alapulnak.
Az

a)

képlet azon az elven alapul, hogy az

n .

ábra belefoglalható egy

2 n - 1

egység oldalú négyzetbe. Ekkor a nagy négyzet csúcsainál kialakul négy egybevágó lépcsős szerkezetű alakzat, amelynek egyes szintjei rendre

1,2, ..., (n - 1)

kis négyzetből állnak.
Az eredeti ábra részleteinek számát nyilván úgy kapjuk meg, ha a nagy négyzet alkotórészeinek számából levonjuk a négy lépcsős szerkezet elemeit.
Így a

\begin{matrix} {(2 n - 1)}^{2} - 4 \cdot (1 + 2 + 3 + ... + n - 1) = {(2 n - 1)}^{2} - 4 \cdot \frac{n (n - 1)}{2} \end{matrix}

képlethez jutunk (1. ábra).

1. ábra

c)

képlethez akkor jutunk el, ha a 2. ábra szerinti felosztást alkalmazzuk, vagyis kijelöljük a középső négyzetet és a többi részt négy egybevágó lépcsős alakzatra bontjuk fel, melyek egyes szintjei rendre

1,2, ..., (n - 1)

kis négyzetből állnak. Így jutunk el az

1 + (1 + 2 + ... + (n - 1)) \cdot 4

összeghez.

2. ábra

3. ábra

d)

képlethez akkor jutunk el, ha a 3. ábra szerint az ábrát balról illetve felülről az

n

. szinten lévő négyzet után egy-egy függőleges és vízszintes vágással 4 részre bontjuk.
A rajzon megadott számozást alkalmazva a II-es és III-as részek áthelyezésével az ábra átdarabolható egy

n

, illetve

n - 1

egység oldalú négyzetbe.
Így kapjuk az alkotóelemek számára az

{(n - 1)}^{2} + n^{2}

képletet.
Eredményeinket összefoglalva megállapíthatjuk, hogy a megadottak közül az

a)

c)

d)

jelzésűek a helyes ötletek.