Feladat:	B.4340	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bősze Zsuzsanna
Füzet:	2012/február, 88 - 89. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyenlőtlenségek, Számtani közép, Harmonikus közép
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/február: B.4340

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Legyen $S=a_1+a_2+\text{...}+a_n$. A bizonyítandó egyenlőtlenségben $n$-nel osztva és gyököt vonva: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{\frac{(\frac{a_1}{a_2+\text{...}+a_n}{)}^2+(\frac{a_2}{a_3+\text{...}+a_1}{)}^2+\text{...}(\frac{a_n}{a_1+\text{...}+a_{n-1}}{)}^2}{n}}\ge \frac{1}{n-1}\mathrm{.}}\end{array}$ Bal oldalon $n$ db pozitív szám négyzetes közepe áll, ennél nem nagyobb ugyanezen számok számtani közepe: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle \sqrt[]{\frac{(\frac{a_1}{a_2+\text{...}+a_n}{)}^2+(\frac{a_2}{a_3+\text{...}+a_1}{)}^2+\text{...}(\frac{a_n}{a_1+\text{...}+a_{n-1}}{)}^2}{n}}\ge }\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle \ge }\hfill & {\displaystyle \frac{(\frac{a_1}{a_2+\text{...}+a_n})+(\frac{a_2}{a_3+\text{...}+a_1})+\text{...}+(\frac{a_n}{a_1+\text{...}+a_{n-1}})}{n}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle \frac{\left(\frac{S-\left(a_2+\text{...}+a_n\right)}{a_2+\text{...}+a_n}\right)+\left(\frac{S-\left(a_3+\text{...}+a_1\right)}{a_3+\text{...}+a_1}\right)+\text{...}+\left(\frac{S-\left(a_1+\text{...}+a_{n-1}\right)}{a_1+\text{...}+a_{n-1}}\right)}{n}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle \frac{(\frac{S}{a_2+\text{...}+a_n}-1)+(\frac{S}{a_3+\text{...}+a_1}-1)+\text{...}(\frac{S}{a_1+\text{...}+a_{n-1}}-1)}{n}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle \frac{S\cdot (\frac{1}{a_2+\text{...}+a_n}+\frac{1}{a_3+\text{...}+a_1}+\text{...}+\frac{1}{a_1+\text{...}+a_{n-1}})-n}{n}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle S\cdot \frac{\frac{1}{a_2+\text{...}+a_n}+\frac{1}{a_3+\text{...}+a_1}+\text{...}+\frac{1}{a_1+\text{...}+a_{n-1}}}{n}-1=S\cdot A-\mathrm{1,}}\hfill \end{array}}$ ahol $A$ jelöli a kapott emeletes törtet. A számtani és harmonikus közép közötti egyenlőtlenség alapján: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle \frac{1}{A}}& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle \frac{n}{\frac{1}{a_2+\text{...}+a_n}+\frac{1}{a_3+\text{...}+a_1}+\text{...}+\frac{1}{a_1+\text{...}+a_{n-1}}}\le }\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle \le }\hfill & {\displaystyle \frac{\left(a_2+\text{...}+a_n\right)+\left(a_3+\text{...}+a_1\right)+\text{...}+\left(a_1+\text{...}+a_{n-1}\right)}{n}=\frac{S\cdot \left(n-1\right)}{n}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Tehát $A\ge \frac{n}{S\cdot \left(n-1\right)}$, amit visszahelyettesítve: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle \sqrt[]{\frac{(\frac{a_1}{a_2+\text{...}+a_n}{)}^2+(\frac{a_2}{a_3+\text{...}+a_1}{)}^2+\text{...}+(\frac{a_n}{a_1+\text{...}+a_{n-1}}{)}^2}{n}}\ge }\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle \ge S\cdot \frac{n}{S\cdot \left(n-1\right)}-1=\frac{n-\left(n-1\right)}{n-1}=\frac{1}{n-1}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ezzel az állítást beláttuk.