Feladat: B.4361 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bogár Blanka ,  Damásdi Gábor ,  Fonyó Viktória ,  Frittmann Júlia ,  Strenner Péter ,  Szabó Attila ,  Weisz Gellért 
Füzet: 2012/január, 19 - 21. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Síkgeometriai bizonyítások, Ellipszis egyenlete
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2011/április: B.4361

Legyenek egy ellipszis féltengelyei a és b, középpontja O; P1,P2,...,Pn pedig olyan pontjai a görbének, amelyekre a PiOPi+1 szögek mindegyike πn. Mutassuk meg, hogy n>1 esetén
2OP12+2OP22+...+2OPn2=na2+nb2.


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. Vegyünk fel egy olyan derékszögű koordinátarendszert, amelynek origója O, és benne az ellipszis egyenlete (Xa)2+(Yb)2=1.

 

1. ábra
 
Ha az ellipszis tetszőleges T pontjára OT=r és az OT szakasz az x tengely pozitív felével α irányított szöget zár be, akkor a T pont koordinátái (rcosα,rsinα). Ezért
(rcosαa)2+(rsinαb)2=1,azaz1OT2=1r2=cos2αa2+sin2αb2.(1)

Jelölje j=1,2,...,n esetén a Pj pont O-ra vonatkozó tükörképét Pn+j. Ekkor OPj=OPn+j. Ha az OPi szakasznak az x tengely pozitív felével bezárt irányított szöge αi (i=1,2,...,2n), akkor minden 1i<2n esetén fennáll a
PiOPi+1=αi+1-αi=πn
egyenlőség. Ezért αi=α1+(i-1)πn minden 1i2n esetén,
 
tehát az (1) összefüggést, valamint a sinx=cos(π2-x) azonosságot felhasználva kapjuk, hogy
i=1n2OPi2=i=12n1OPi2=1a2i=12ncos2αi+1b2i=12nsin2αi==1a2i=12ncos2(α1+(i-1)πn)+1b2i=12ncos2(π2-(α1+(i-1)πn)).

Vagyis feladatunk állításának igazolásához elegendő azt megmutatni, hogy bármely β szög esetén
i=12ncos2(β+(i-1)πn)=n.
A cos2β=2cos2β-1 összefüggés szerint ez egyenértékű a
i=12ncos(2β+(i-1)2πn)=0
egyenlőséggel, a koszinuszfüggvény periodicitása miatt utóbbi pedig a
i=1ncos(2β+(i-1)2πn)=0
egyenlőséggel. Itt a bal oldalon az O középpontú egységsugarú körbe írt olyan szabályos n-szög csúcsainak x-koordinátái szerepelnek összeadandóként, amelynek egyik csúcsa a (cos2β,sin2β) pont (2. ábra).

 

2. ábra
 

Ezen koordináták összege megegyezik az O középpontból a sokszög csúcsaiba mutató vektorok összegének első koordinátájával. Viszont ez az összegvektor nem változik meg, ha a sokszöget O körül 2πn szöggel elforgatjuk. Olyan vektor viszont, amely a 2πn-szögű elforgatásnál nem változik, csak egy van, a 0. Ennek persze mindkét koordinátája 0, tehát a koszinuszok összege is 0, amivel állításunkat beláttuk.