Feladat:	B.4338	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Mihálykó András
Füzet:	2012/január, 15. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Ponthalmazok, Geometriai valószínűség
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/február: B.4338

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A húrok akkor metszik egymást, ha a pontok a körvonalon $ACBD$ sorrendben követik egymást valamelyik körüljárási irányban. Tegyük le a pontokat tetszőleges helyre a körvonalon. Ezt megtehetjük, mert az elhelyezkedés nem befolyásolja a metszést, csak az, hogy melyik pontnak melyik nevet adtuk. Az egyik letett pontot nevezzük $A$-nak. Az, hogy melyiket, még mindig nem befolyásolja a metszést. Ha most az $A$ egyik szomszédját jelöljük $B$-vel, akkor nem metszi egymást az $AB$ és $CD$ szakasz, ha a ,,szemköztit'', akkor lesz metszéspont. A $B$ kiválasztását véletlenszerűen tehetjük meg, vagyis $\frac{2}{3}$ eséllyel választhatunk $A$-val szomszédos pontot. Ezek szerint $\frac{1}{3}$ a valószínűsége, hogy a húrok metszik egymást.