Feladat: B.4338 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Mihálykó András 
Füzet: 2012/január, 15. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Ponthalmazok, Geometriai valószínűség
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2011/február: B.4338

Egy kör kerületén egymástól függetlenül, véletlenszerűen felvesszük az A, B, C és D pontokat. Mi annak a valószínűsége, hogy az AB és a CD húrok metszik egymást?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. A húrok akkor metszik egymást, ha a pontok a körvonalon ACBD sorrendben követik egymást valamelyik körüljárási irányban. Tegyük le a pontokat tetszőleges helyre a körvonalon. Ezt megtehetjük, mert az elhelyezkedés nem befolyásolja a metszést, csak az, hogy melyik pontnak melyik nevet adtuk. Az egyik letett pontot nevezzük A-nak. Az, hogy melyiket, még mindig nem befolyásolja a metszést. Ha most az A egyik szomszédját jelöljük B-vel, akkor nem metszi egymást az AB és CD szakasz, ha a ,,szemköztit'', akkor lesz metszéspont. A B kiválasztását véletlenszerűen tehetjük meg, vagyis 23 eséllyel választhatunk A-val szomszédos pontot. Ezek szerint 13 a valószínűsége, hogy a húrok metszik egymást.