|
Feladat: |
B.4290 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Ágoston Tamás , Beke Lilla , Csuka Róbert , Damásdi Gábor , Dudás Zsolt , Fonyó Viktória , Gyarmati Máté , Janzer Olivér , Karl Erik Holter , Lenger Dániel , Nagy Róbert , Perjési Gábor , Strenner Péter , Szabó Attila , Varnyú József , Weisz Gellért , Zilahi Tamás |
Füzet: |
2011/április,
219. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Feladat, Egész együtthatós polinomok, Legkisebb közös többszörös, Oszthatóság |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2010/szeptember: B.4290 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. A feladat állítása szerint léteznek olyan és egész számok, amelyekre és . Írjuk föl az és számokat prímtényezős alakban: | | Az egységes jelölés érdekében megengedjük, hogy a szereplő prímek kitevője nulla is lehessen, és a prímeket aszerint csoportosítjuk, hogy melyik számban szerepelnek nagyobb kitevővel ‐ vagyis és (minden -re és -re). Ekkor az | | számok egymáshoz relatív prímek, és a legkisebb közös többszörösük | | ami megegyezik és legkisebb közös többszörösével. A korábbi feltételek miatt nyilván és . Mivel és relatív prímek, a kínai maradéktétel szerint létezik olyan egész, amelyre
| |
Az miatt , hiszen egész együtthatós, és a kongruenciákat beszorozhatjuk egész számmal, hatványozhatjuk és össze is adhatjuk. Hasonlóan, a második feltételből következik, hogy . Így -gyel és -gyel is osztható, tehát osztható és legkisebb közös többszörösével is, ami pedig egyenlő és legkisebb közös többszörösével. Weisz Gellért (Fazekas M. Főv. Gyak. G. 10. évf.) dolgozata alapján |
|