|
Feladat: |
B.4267 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Ágoston Péter , Ágoston Tamás , Bogár Blanka , Csuka Róbert , Damásdi Gábor , Éles András , Janzer Olivér , Kiss Melinda Flóra , Klincsik Gergely , Korondi Zénó , Márkus Bence , Mester Márton , Mészáros András , Mihálka Éva Zsuzsanna , Nagy Balázs , Nagy Miklós , Strenner Péter , Szabó Attila , Uray Marcell János , Varga Vajk , Vuchetich Bálint , Weisz Gellért , Weisz Ágoston , Zsakó András |
Füzet: |
2011/április,
211 - 212. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Feladat, Középpontos tükrözés, Hozzáírt körök, Beírt kör, Síkgeometriai bizonyítások |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2010/április: B.4267 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Legyen a háromszög beírt körének középpontja , körülírt körének középpontja , az pont -ra vonatkozó tükörképe pedig . Megmutatjuk, hogy a háromszög oldalaira a hozzáírt körök érintési pontjaiban állított merőlegesek mindegyike átmegy az ponton. Ismert, hogy egy háromszög bármely oldalán az oldalhoz tartozó hozzáírt kör érintési pontja és a beírt kör érintési pontja egymásnak az adott oldal felezőpontjára vonatkozó tükörképe. Ezt az olvasó az 1. ábra alapján könnyen beláthatja, vagy pedig megtalálhatja az állítás bizonyítását például a Geometriai feladatok gyűjteménye I., 645. feladatában.
1. ábra
2. ábra Legyenek a háromszög egyik oldalára a beírható kör érintési pontjában, az oldalfelezőpontban és a hozzáírt kör érintési pontjában állított merőleges egyenesek , és (2. ábra). Ekkor , és egymással párhuzamosak és előző megállapításunkból következik, hogy az , a és az egyenesek középpárhuzamosa. Az egyenes illeszkedik a körülírt kör középpontjára, ezért az egyenes -ra vonatkozó tükörképe . A tükrözés illeszkedéstartó és átmegy -n, ezért átmegy -n. Ez a háromszög mindhárom oldala esetén teljesül, tehát a hozzáírt körök érintési pontjaiban állított merőlegesek egy ponton, a beírt kör középpontjának a körülírt kör középpontjára vonatkozó tükörképén mennek át. Ágoston Péter (Fazekas Mihály Főv. Gyak. G.., 8. évf.) dolgozata alapján |
|