Feladat: B.4267 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ágoston Péter ,  Ágoston Tamás ,  Bogár Blanka ,  Csuka Róbert ,  Damásdi Gábor ,  Éles András ,  Janzer Olivér ,  Kiss Melinda Flóra ,  Klincsik Gergely ,  Korondi Zénó ,  Márkus Bence ,  Mester Márton ,  Mészáros András ,  Mihálka Éva Zsuzsanna ,  Nagy Balázs ,  Nagy Miklós ,  Strenner Péter ,  Szabó Attila ,  Uray Marcell János ,  Varga Vajk ,  Vuchetich Bálint ,  Weisz Gellért ,  Weisz Ágoston ,  Zsakó András 
Füzet: 2011/április, 211 - 212. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Középpontos tükrözés, Hozzáírt körök, Beírt kör, Síkgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2010/április: B.4267

Mutassuk meg, hogy egy háromszög oldalaira a hozzáírt körök érintési pontjaiban állított merőlegesek egy ponton mennek át.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. Legyen a háromszög beírt körének középpontja O, körülírt körének középpontja K, az O pont K-ra vonatkozó tükörképe pedig O'. Megmutatjuk, hogy a háromszög oldalaira a hozzáírt körök érintési pontjaiban állított merőlegesek mindegyike átmegy az O' ponton.
Ismert, hogy egy háromszög bármely oldalán az oldalhoz tartozó hozzáírt kör érintési pontja és a beírt kör érintési pontja egymásnak az adott oldal felezőpontjára vonatkozó tükörképe. Ezt az olvasó az 1. ábra alapján könnyen beláthatja, vagy pedig megtalálhatja az állítás bizonyítását például a Geometriai feladatok gyűjteménye I., 645. feladatában.

1. ábra


2. ábra

Legyenek a háromszög egyik oldalára a beírható kör érintési pontjában, az oldalfelezőpontban és a hozzáírt kör érintési pontjában állított merőleges egyenesek e, f és g (2. ábra). Ekkor e, f és g egymással párhuzamosak és előző megállapításunkból következik, hogy az f, a g és az e egyenesek középpárhuzamosa.
Az f egyenes illeszkedik a körülírt kör K középpontjára, ezért az e egyenes K-ra vonatkozó tükörképe g. A tükrözés illeszkedéstartó és e átmegy O-n, ezért g átmegy O'-n.
Ez a háromszög mindhárom oldala esetén teljesül, tehát a hozzáírt körök érintési pontjaiban állított merőlegesek egy ponton, a beírt kör középpontjának a körülírt kör középpontjára vonatkozó tükörképén mennek át.
 
 Ágoston Péter (Fazekas Mihály Főv. Gyak. G.., 8. évf.)
 dolgozata alapján