|
Feladat: |
B.4251 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Ágoston Tamás , Cséke Balázs , Damásdi Gábor , Éles András , Janzer Olivér , Kovács Gergely , Márkus Bence , Mester Márton , Perjési Gábor , Somogyi Ákos , Strenner Péter , Szabó Attila , Weisz Ágoston , Weisz Gellért , Zsakó András |
Füzet: |
2011/január,
19 - 21. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Feladat, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Maradékos osztás, kongruenciák, Oszthatóság, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám) |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2010/február: B.4251 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. A szám utolsó két számjegye alapú számrendszerben a szám -es maradéka. Ennek meghatározásához először megmutatjuk, hogy ha prímszám, pedig tetszőleges nemnegatív egész, akkor Ennek belátásához szükségünk lesz a következő észrevételre: ha két -vel nem osztható egész szám -tel osztva ugyanannyi maradékot ad, a hányadosuk pedig egész szám, akkor az -tel osztva 1-et ad maradékul. Vagyis, ha a -vel nem osztható , , egész számokra és , akkor . Valóban, ha osztható -tel, akkor is osztható -tel. Ugyanígy látható, hogy ha nem osztható -vel, akkor esetén . Legyen most tetszőleges nemnegatív egész szám. Ekkor a szorzatot teljesen kibontva, abban ,,majdnem minden'' tag osztható lesz -tel, azaz | |
Mivel nem osztható -vel, és az számok -vel osztva mind különböző (nemnulla) maradékot adnak, azért a -vel nem osztható | | számok is mind különböző maradékot adnak -vel osztva, így miatt | | Ezért | | ahonnan az előbb látottak szerint: | |
A bizonyított összefüggés szerint: | | A kapott összeget a számtani sorozatok és a négyzetszámok összegképletének felhasználásával tovább alakítva:
A hányados -tel való osztási maradékát keresve elegendő -nak a -vel vett maradékát meghatározni. Mivel prím, a 6-tal való osztási maradéka 1 vagy 5 lehet. Az első esetben, amikor , | | Ezt -gyel maradékosan osztva: , vagyis a maradék . A második esetben, amikor , | | Maradékosan osztva -tel: , a maradék . Így -nak a -tel való osztási maradéka az első esetben , a másodikban pedig . Tehát ha alakú, akkor a alapú számrendszerben az utolsó két számjegy és 0, ha pedig alakú, akkor az utolsó két számjegy és 0.
|
|