|
Feladat: |
B.4235 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bálint Csaba , Bogár Blanka , Böőr Katalin , Csuka Róbert , Éles András , Hajdók Soma , Janzer Olivér , Jernei Tamás , Keresztfalvi Tibor , Kiss Melinda Flóra , Kószó Simon , Köpenczei Gergő , Medek Ákos , Mihálka Éva Zsuzsanna , Szabó Attila , Udvari Benjámin , Uray Marcell János , Zsakó András |
Füzet: |
2011/január,
13 - 15. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Feladat, Osztópontok koordinátái, Paralelogrammák, Helyvektorok |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2010/január: B.4235 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. A parallelogrammák vektorok segítségével egyszerűen jellemezhetők. Egy rögzített pontból indítsunk helyvektorokat, és jelöljük ezeket a megfelelő kisbetűvel, azaz legyen pl. . Először megadjuk a parallelogrammák vektoros leírását. Belátjuk a következő állítást.
Valamely konvex négyszög pontosan akkor parallelogramma, ha
1. ábra Ugyanis a négyszög pontosan akkor parallelogramma, ha valamelyik szemközti oldalpárja párhuzamos és egyenlő hosszú, azaz ha . Ez viszont akkor és csak akkor teljesül, ha , azaz ha , amiből átrendezéssel kapjuk állításunkat. (A bizonyításból az is látszik, hogy az pont választásától független ‐ az -tól egyenként persze függő ‐ a helyvektorokra vonatkozó egyenlőség teljesülése.)
2. ábra Ezek után az eredeti feladat megoldása már egyszerű számolás. Mivel az új négyszög csúcsai az eredeti négyszög oldalait arányban osztják, így
| |
| |
Az előzőek alapján tehát az négyszög pontosan akkor parallelogramma, ha , azaz ha teljesül. Amennyiben , úgy ebből következik, vagyis az konvex négyszög is parallelogramma (és megfordítva). Ha pedig , akkor ez a feltétel mindig teljesül. Ez utóbbi azt a jól ismert tényt fejezi ki, hogy tetszőleges konvex négyszög oldalfelező pontjai egy parallelogrammát határoznak meg. (A 3. ábra jelöléseit használva: az , pedig az háromszögben a háromszögek oldalával párhuzamos középvonala, ezért mindkét középvonal párhuzamos -vel és fele olyan hosszú, mint . Vagyis az négyszög parallelogramma.)
3. ábra Tehát a feladat állítása minden olyan párra teljesül, amelyre .
|
|