Kezdőlap


Feladat:	B.4235	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bálint Csaba , Bogár Blanka , Böőr Katalin , Csuka Róbert , Éles András , Hajdók Soma , Janzer Olivér , Jernei Tamás , Keresztfalvi Tibor , Kiss Melinda Flóra , Kószó Simon , Köpenczei Gergő , Medek Ákos , Mihálka Éva Zsuzsanna , Szabó Attila , Udvari Benjámin , Uray Marcell János , Zsakó András
Füzet:	2011/január, 13 - 15. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Osztópontok koordinátái, Paralelogrammák, Helyvektorok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/január: B.4235

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A parallelogrammák vektorok segítségével egyszerűen jellemezhetők. Egy rögzített $O$ pontból indítsunk helyvektorokat, és jelöljük ezeket a megfelelő kisbetűvel, azaz legyen pl. $\vec{O P} = p$ . Először megadjuk a parallelogrammák vektoros leírását. Belátjuk a következő állítást.

Valamely

E F G H

konvex négyszög pontosan akkor parallelogramma, ha

\begin{matrix} e + g = f + h . \end{matrix}

1. ábra

Ugyanis a négyszög pontosan akkor parallelogramma, ha valamelyik szemközti oldalpárja párhuzamos és egyenlő hosszú, azaz ha

\vec{E F} = \vec{H G}

. Ez viszont akkor és csak akkor teljesül, ha

\vec{O F} - \vec{O E} = \vec{O G} - \vec{O H}

, azaz ha

f - e = g - h

, amiből átrendezéssel kapjuk állításunkat. (A bizonyításból az is látszik, hogy az

O

pont választásától független ‐ az

O

-tól egyenként persze függő ‐ a helyvektorokra vonatkozó egyenlőség teljesülése.)

2. ábra

Ezek után az eredeti feladat megoldása már egyszerű számolás. Mivel az új négyszög csúcsai az eredeti négyszög oldalait

k : (n - k)

arányban osztják, így

\begin{matrix} a_{k} = \frac{k b + (n - k) a}{n}, b_{k} = \frac{k c + (n - k) b}{n}, \end{matrix}

\begin{matrix} c_{k} = \frac{k d + (n - k) c}{n} és d_{k} = \frac{k a + (n - k) d}{n} . \end{matrix}

Az előzőek alapján tehát az

A_{k} B_{k} C_{k} D_{k}

négyszög pontosan akkor parallelogramma, ha

a_{k} + c_{k} = b_{k} + d_{k}

, azaz ha

\begin{matrix} \frac{n - 2 k}{n} (a + c - b - d) = 0 \end{matrix}

teljesül.
Amennyiben

n \neq 2 k

, úgy ebből

a + c = b + d

következik, vagyis az

A B C D

konvex négyszög is parallelogramma (és megfordítva). Ha pedig

n = 2 k

, akkor ez a feltétel mindig teljesül.
Ez utóbbi azt a jól ismert tényt fejezi ki, hogy tetszőleges konvex négyszög oldalfelező pontjai egy parallelogrammát határoznak meg. (A 3. ábra jelöléseit használva:

A_{k} B_{k}

A B C

C_{k} D_{k}

pedig az

A D C

háromszögben a háromszögek

A C

oldalával párhuzamos középvonala, ezért mindkét középvonal párhuzamos

A C

-vel és fele olyan hosszú, mint

A C

. Vagyis az

A_{k} B_{k} C_{k} D_{k}

négyszög parallelogramma.)

3. ábra

Tehát a feladat állítása minden olyan

(n, k)

párra teljesül, amelyre

n \neq 2 k