Feladat: B.4235 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bálint Csaba ,  Bogár Blanka ,  Böőr Katalin ,  Csuka Róbert ,  Éles András ,  Hajdók Soma ,  Janzer Olivér ,  Jernei Tamás ,  Keresztfalvi Tibor ,  Kiss Melinda Flóra ,  Kószó Simon ,  Köpenczei Gergő ,  Medek Ákos ,  Mihálka Éva Zsuzsanna ,  Szabó Attila ,  Udvari Benjámin ,  Uray Marcell János ,  Zsakó András 
Füzet: 2011/január, 13 - 15. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Osztópontok koordinátái, Paralelogrammák, Helyvektorok
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2010/január: B.4235

Az ABCD konvex négyszög oldalait n2 egyenlő részre osztottuk. Az AB, BC, CD, DA oldalakon az A, B, C, D csúcsoktól számított k-adik osztópontok legyenek Ak, Bk, Ck, Dk. Mely (n,k) párokra teljesül, hogy az ABCD négyszög pontosan akkor parallelogramma, ha az AkBkCkDk négyszög is az?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A parallelogrammák vektorok segítségével egyszerűen jellemezhetők. Egy rögzített O pontból indítsunk helyvektorokat, és jelöljük ezeket a megfelelő kisbetűvel, azaz legyen pl. OP=p. Először megadjuk a parallelogrammák vektoros leírását. Belátjuk a következő állítást.

 
Valamely EFGH konvex négyszög pontosan akkor parallelogramma, ha
e+g=f+h.

 
 

1. ábra
 

Ugyanis a négyszög pontosan akkor parallelogramma, ha valamelyik szemközti oldalpárja párhuzamos és egyenlő hosszú, azaz ha EF=HG. Ez viszont akkor és csak akkor teljesül, ha OF-OE=OG-OH, azaz ha f-e=g-h, amiből átrendezéssel kapjuk állításunkat. (A bizonyításból az is látszik, hogy az O pont választásától független ‐ az O-tól egyenként persze függő ‐ a helyvektorokra vonatkozó egyenlőség teljesülése.)
 
 

2. ábra
 

Ezek után az eredeti feladat megoldása már egyszerű számolás. Mivel az új négyszög csúcsai az eredeti négyszög oldalait k:(n-k) arányban osztják, így
ak=kb+(n-k)an,bk=kc+(n-k)bn,

ck=kd+(n-k)cnésdk=ka+(n-k)dn.

Az előzőek alapján tehát az AkBkCkDk négyszög pontosan akkor parallelogramma, ha ak+ck=bk+dk, azaz ha
n-2kn(a+c-b-d)=0
teljesül.
Amennyiben n2k, úgy ebből a+c=b+d következik, vagyis az ABCD konvex négyszög is parallelogramma (és megfordítva). Ha pedig n=2k, akkor ez a feltétel mindig teljesül.
Ez utóbbi azt a jól ismert tényt fejezi ki, hogy tetszőleges konvex négyszög oldalfelező pontjai egy parallelogrammát határoznak meg. (A 3. ábra jelöléseit használva: AkBk az ABC, CkDk pedig az ADC háromszögben a háromszögek AC oldalával párhuzamos középvonala, ezért mindkét középvonal párhuzamos AC-vel és fele olyan hosszú, mint AC. Vagyis az AkBkCkDk négyszög parallelogramma.)
 
 

3. ábra
 

Tehát a feladat állítása minden olyan (n,k) párra teljesül, amelyre n2k.