Feladat:	B.4410	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Makk László
Füzet:	2013/május, 281 - 282. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Negyed- és magasabb fokú függvények, Feladat, Különleges függvények
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/december: B.4410

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A diákok optimális esetben párosával kérdezik a számokat, azaz megkérdezik egy pozitív $x$-re a függvény értéket, majd annak ellentettjére is. Ha olyan polinomfüggvényre gondolt a tanár, amelyben csak páros kitevők szerepelnek, a függvény biztosan páros, és a diákok akármeddig kérdezgethetik a helyettesítési értékeket, a párok függvényértéke mindig meg fog egyezni. Ha van páratlan kitevő is, a függvény nem páros. Az tehát, hogy páros-e a függvény, csak a páratlan kitevős $x$-ektől függ. Emiatt tekintsük csupán a páratlan kitevős tagok által meghatározott $g\left(x\right)$ függvényt. Egy nem páros polinomfüggvény egy valós $x$ és $-x$ helyen csak akkor egyező értékű, ha a függvény és $y$ tengelyre tükrözött képe az $x$ helyen metszi egymást. (Az $x=0$-ban lévő metszéspontot nem számoljuk, hiszen csak pozitív-negatív párokat kérdezgetnek). Ha a találgatás során a tanulók pont egy ilyen metszésponton kérdezik meg a függvény értéket, nem jönnek rá, hogy az valójában nem páros; erre pedig 2 kérdést használnak fel ($x$ és $-x$). Ha tekintjük a legrosszabb helyzetet, és az összes ilyen metszéspontot megtalálják a diákok, a pozitív metszéspontok számának kétszeresénél kettővel több kérdésre van szükségük. Ha az $a$ egy ilyen pozitív hely, akkor ott $g\left(-a\right)=g\left(a\right)$ teljesül, Másrészt, mivel $g$ csak páratlan kitevőjű tagokból áll, $g\left(-a\right)=-g\left(a\right)$; tehát $g\left(a\right)=0$. Tehát $a$ gyöke a $g$-nek, ezért $g/x$-nek is, ami viszont csupa páros kitevőjű tagból áll. Ha $g$ foka $k$, akkor ilyen pozitív $a$ szám legfeljebb $\left(k-1\right)/2$ lehet, hiszen $g/x$ valós gyökeinek száma legfeljebb a foka, $k-1$, és ezek a gyökök az $y$ tengelyre szimmetrikusan helyezkednek el. Ez tehát legfeljebb $\left(k-1\right)/2$ pozitív metszéspontot jelent, azonban a tanulók ezek ellentettjét is meg fogják kérdezni, tehát $k-1$ kérdést tesznek fel. Majd feltesznek még 2-t, és akkor kiderül, hogy nem páros a függvény. Ez $k-1+2=k+1$ kérdést jelent. Mivel $k$ a legnagyobb páratlan kitevőt jelölte, ami páratlan $n$ esetén $n$, páros $n$ esetén $n-1$; azért, ha $n$ páros, akkor $n-1+1=n$ kérdést elég feltenni, ha pedig páratlan, akkor $n+1$ kérdésre van legalább szükség.