Feladat: B.4410 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Makk László 
Füzet: 2013/május, 281 - 282. oldal  PDF file
Témakör(ök): Negyed- és magasabb fokú függvények, Feladat, Különleges függvények
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2011/december: B.4410

A matematika szakkörön a tanár gondolt egy legfeljebb n-ed fokú polinomfüggvényre. A diákok tetszőleges valós helyen megkérdezhetik a függvény helyettesítési értékét. Hány helyettesítési érték ismeretében dönthető el minden esetben, hogy a függvény páros-e?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. A diákok optimális esetben párosával kérdezik a számokat, azaz megkérdezik egy pozitív x-re a függvény értéket, majd annak ellentettjére is. Ha olyan polinomfüggvényre gondolt a tanár, amelyben csak páros kitevők szerepelnek, a függvény biztosan páros, és a diákok akármeddig kérdezgethetik a helyettesítési értékeket, a párok függvényértéke mindig meg fog egyezni.
Ha van páratlan kitevő is, a függvény nem páros. Az tehát, hogy páros-e a függvény, csak a páratlan kitevős x-ektől függ. Emiatt tekintsük csupán a páratlan kitevős tagok által meghatározott g(x) függvényt.
Egy nem páros polinomfüggvény egy valós x és -x helyen csak akkor egyező értékű, ha a függvény és y tengelyre tükrözött képe az x helyen metszi egymást. (Az x=0-ban lévő metszéspontot nem számoljuk, hiszen csak pozitív-negatív párokat kérdezgetnek). Ha a találgatás során a tanulók pont egy ilyen metszésponton kérdezik meg a függvény értéket, nem jönnek rá, hogy az valójában nem páros; erre pedig 2 kérdést használnak fel (x és -x).
Ha tekintjük a legrosszabb helyzetet, és az összes ilyen metszéspontot megtalálják a diákok, a pozitív metszéspontok számának kétszeresénél kettővel több kérdésre van szükségük. Ha az a egy ilyen pozitív hely, akkor ott g(-a)=g(a) teljesül, Másrészt, mivel g csak páratlan kitevőjű tagokból áll, g(-a)=-g(a); tehát g(a)=0. Tehát a gyöke a g-nek, ezért g/x-nek is, ami viszont csupa páros kitevőjű tagból áll. Ha g foka k, akkor ilyen pozitív a szám legfeljebb (k-1)/2 lehet, hiszen g/x valós gyökeinek száma legfeljebb a foka, k-1, és ezek a gyökök az y tengelyre szimmetrikusan helyezkednek el.
Ez tehát legfeljebb (k-1)/2 pozitív metszéspontot jelent, azonban a tanulók ezek ellentettjét is meg fogják kérdezni, tehát k-1 kérdést tesznek fel. Majd feltesznek még 2-t, és akkor kiderül, hogy nem páros a függvény. Ez k-1+2=k+1 kérdést jelent.
Mivel k a legnagyobb páratlan kitevőt jelölte, ami páratlan n esetén n, páros n esetén n-1; azért, ha n páros, akkor n-1+1=n kérdést elég feltenni, ha pedig páratlan, akkor n+1 kérdésre van legalább szükség.