Feladat: B.4408 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bingler Arnold ,  Czipó Bence ,  Fehér Zsombor ,  Fonyó Viktória ,  Janzer Olivér ,  Jávorszky Natasa ,  Kaprinai Balázs ,  Kiss Melinda Flóra ,  Lucskai Gábor ,  Machó Bónis ,  Mester Márton ,  Mihálykó András ,  Ódor Gergely ,  Sticza Gergő ,  Strenner Péter ,  Szabó Attila ,  Weimann Richárd 
Füzet: 2013/február, 90 - 91. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szinusztétel alkalmazása, Koszinusztétel alkalmazása, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2011/december: B.4408

Az ABC háromszögben AC és BC oldalak hossza rögzített, a C-nél levő szög pedig változik. Az AC oldal felezőpontja M, a BC oldal felezőpontja N, az AB oldalra kifelé állított négyzet középpontja pedig O. Hogyan kell az ACB szöget megválasztani ahhoz, hogy az OM és ON távolságok összege a lehető legnagyobb legyen?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. Jelöljük az ABC háromszög oldalait a, b, c-vel, szögeit α, β, γ AB oldalának felezőpontját F-fel. Állítsunk a háromszög BC és CA oldalaira is kifelé négyzeteket, és jelöljük ezek középpontjait O1, O2-vel.
 
 

Felhasználjuk, hogy a háromszög középvonalai párhuzamosak az oldalakkal és fele akkora hosszúságúak, továbbá azt, hogy egy négyzet középpontját egyik oldalfelező ponttal összekötve a kapott szakasz merőleges az adott oldalra, és fele akkora hosszúságú. Ezek szerint

NFB=CMN=CAB=α,AFM=MNC=ABC=β,NFO=O2MN=90+α,MFO=O1NM=90+β.
Így az ONF és NO2M háromszögek, továbbá az OFM és O1NM háromszögek egybevágók, mivel két-két oldaluk és az általuk közbezárt szög megegyezik.
Az egybevágóság következményeként ON=NO2=x és OM=MO1=y. A négyzet átlója az oldallal 45-os szöget zár be, ezért 0<γ135 esetén
NCO2=MCO1=γ+45,

135<γ<180 esetén pedig
NCO2=MCO1=360-(γ+45).

Felhasználva, hogy a négyzet átlójának fele az oldal hosszának 22-szerese:
CN=a2,CM=b2,CO1=a22,CO2=b22.

Másrészt a cosγ=cos(360-γ) azonosság alapján a CMO1 és a CNO2 háromszögekre, vagy elfajuló háromszögekre egységesen az alábbi alakban írható fel a koszinusz-tétel:
y2=(b2)2+(a22)2-2b2a22cos(γ-45)x2=(a2)2+(b22)2-2a2b22cos(γ-45).

A feltételek szerint a és b állandók, az x2 és y2, illetve ezekkel szinkronban az x és y maximumának feltétele, hogy cos(γ+45)=-1, azaz γ+45=180, vagyis γ=135 legyen.
Ekkor
x2=(a2+b22)2,y2=(b2+a22)2,
vagyis
x=a2+b22ésy=b2+a22.
Összegük:
x+y=(a+b)(1+2)2.

Tehát az ACB szöget 135-osnak választva az OM és ON távolságok összegének maximuma
(AC+BC)(1+2)2.